解説

方針・初手

条件 $X_{k-1}\leqq 4$ かつ $X_k\geqq 5$ は、さいころの出目が「$1,2,3,4$ 側」から「$5,6$ 側」へ移る瞬間を数えている。

ここで

$$ L={1,2,3,4},\qquad H={5,6}

$$

とおくと、$P(L)=\dfrac{2}{3}$、$P(H)=\dfrac{1}{3}$ であり、さらに $X_0=0$ は $L$ 側にあるとみなせる。したがって、「$L$ から $H$ への移動がちょうど1回起こる確率」を求めればよい。

解法1

ただ1回だけ起こる $L\to H$ の移動が $k$ 回目に起こるとする。

このとき、$k$ 回目より前に $L\to H$ が起こってはいけない。初期状態は $X_0=0$ で $L$ 側なので、$k$ 回目までに初めて $H$ 側へ移るためには、

$$ X_1,X_2,\ldots,X_{k-1}\in L,\qquad X_k\in H

$$

でなければならない。

その確率は

$$ \left(\frac{2}{3}\right)^{k-1}\frac{1}{3}

$$

である。

次に、$k$ 回目以後には $L\to H$ が起こってはいけない。$X_k\in H$ から始まって、以後 $L\to H$ を避けるには、しばらく $H$ が続いたあと、必要なら $L$ に移り、その後はずっと $L$ でなければならない。

つまり、$X_{k+1},\ldots,X_n$ は

$$ H^jL^{n-k-j}\qquad (j=0,1,\ldots,n-k)

$$

の形になる。ただし $H^j$ は $H$ が $j$ 個続くこと、$L^{n-k-j}$ は $L$ が $n-k-j$ 個続くことを表す。

したがって、$k$ 回目がただ1回の $L\to H$ である確率は

$$ \left(\frac{2}{3}\right)^{k-1}\frac{1}{3} \sum_{j=0}^{n-k} \left(\frac{1}{3}\right)^j \left(\frac{2}{3}\right)^{n-k-j}

$$

である。

これを $k=1,2,\ldots,n$ について足せばよい。

$$ P= \sum_{k=1}^{n} \left(\frac{2}{3}\right)^{k-1}\frac{1}{3} \sum_{j=0}^{n-k} \left(\frac{1}{3}\right)^j \left(\frac{2}{3}\right)^{n-k-j}

$$

ここで、積を整理すると

$$ \begin{aligned} \left(\frac{2}{3}\right)^{k-1} \left(\frac{1}{3}\right) \left(\frac{1}{3}\right)^j \left(\frac{2}{3}\right)^{n-k-j} &= \left(\frac{1}{3}\right)^{j+1} \left(\frac{2}{3}\right)^{n-1-j} \end{aligned} $$

であり、これは $k$ には依存しない。

$j$ を固定すると、$0\leqq j\leqq n-k$ より $k\leqq n-j$ であるから、そのような $k$ は $n-j$ 個ある。よって

$$ P= \sum_{j=0}^{n-1} (n-j) \left(\frac{1}{3}\right)^{j+1} \left(\frac{2}{3}\right)^{n-1-j}

$$

となる。

$t=j+1$ とおくと、

$$ P= \sum_{t=1}^{n} (n-t+1) \left(\frac{1}{3}\right)^t \left(\frac{2}{3}\right)^{n-t}

$$

である。これを整理する。

$$ \begin{aligned} P &= \left(\frac{2}{3}\right)^n \sum_{t=1}^{n} (n-t+1)\left(\frac{1}{2}\right)^t \end{aligned}

$$

ここで

$$ \begin{aligned} \sum_{t=1}^{n} (n-t+1)\left(\frac{1}{2}\right)^t &= (n+1)\sum_{t=1}^{n}\left(\frac{1}{2}\right)^t \\ \sum_{t=1}^{n}t\left(\frac{1}{2}\right)^t \end{aligned} $$

である。

また、

$$ \begin{aligned} \sum_{t=1}^{n}\left(\frac{1}{2}\right)^t &= 1-\frac{1}{2^n} \end{aligned} $$

であり、

$$ \begin{aligned} \sum_{t=1}^{n}t\left(\frac{1}{2}\right)^t &= 2-\frac{n+2}{2^n} \end{aligned} $$

である。したがって

$$ \begin{aligned} \sum_{t=1}^{n} (n-t+1)\left(\frac{1}{2}\right)^t &= (n+1)\left(1-\frac{1}{2^n}\right) &=

\left(2-\frac{n+2}{2^n}\right)\\ &= n-1+\frac{1}{2^n} \end{aligned}

$$

となる。

よって求める確率は

$$ \begin{aligned} P &= \left(\frac{2}{3}\right)^n \left(n-1+\frac{1}{2^n}\right)\\ &= \frac{(n-1)2^n+1}{3^n} \end{aligned}

$$

である。

解説

この問題の本質は、出目そのものを直接扱うのではなく、$1,2,3,4$ を $L$、$5,6$ を $H$ とまとめて考える点にある。

条件は「$L$ から $H$ への移動がちょうど1回」という意味である。最初は $X_0=0$ なので $L$ 側から始まる。したがって、ただ1回の $L\to H$ が起こるまではすべて $L$、その後は再び $L\to H$ が起こらないように、$H$ が続いたあと $L$ が続く形しか許されない。

この構造を押さえると、単なる場合の数ではなく、出目の列を $L,H$ の列として整理できる。

答え

$$ \boxed{\dfrac{(n-1)2^n+1}{3^n}}

$$