基礎問題集
数学A 確率「確率」の問題97 解説
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解説
方針・初手
並べる数字に重複があるので、まず重複順列として総数を数える。
「同じ数字が隣り合う」可能性があるのは $1$ と $2$ だけである。したがって、条件を満たさない場合を包除原理で数える。
解法1
まず、$1,1,2,2,3,4$ の $6$ 個を並べてできる $6$ 桁の自然数の総数を求める。
$1$ が $2$ 個、$2$ が $2$ 個重複しているので、総数は
$$ \frac{6!}{2!2!}=180
$$
である。
次に、同じ数字が全く隣り合っていないものを数える。
同じ数字が隣り合う可能性があるのは、$1$ と $2$ だけである。そこで、
- $A$：$1$ と $1$ が隣り合う並べ方
- $B$：$2$ と $2$ が隣り合う並べ方
とする。
まず、$A$ を数える。$1,1$ をひとまとまりのブロック $11$ とみなすと、
$$ 11,\ 2,\ 2,\ 3,\ 4
$$
の $5$ 個を並べることになる。ただし $2$ が $2$ 個重複しているので、
$$ |A|=\frac{5!}{2!}=60
$$
である。
同様に、$2,2$ が隣り合う場合は、$22$ をひとまとまりにして
$$ 1,\ 1,\ 22,\ 3,\ 4
$$
を並べるので、
$$ |B|=\frac{5!}{2!}=60
$$
である。
次に、$A \cap B$ を数える。これは $1,1$ も $2,2$ もそれぞれ隣り合う場合であるから、$11$ と $22$ をそれぞれひとまとまりにして
$$ 11,\ 22,\ 3,\ 4
$$
の $4$ 個を並べればよい。よって、
$$ |A \cap B|=4!=24
$$
である。
したがって、少なくとも一方の同じ数字が隣り合う並べ方は、包除原理より
$$ |A \cup B|=|A|+|B|-|A \cap B| =60+60-24 =96
$$
である。
よって、同じ数字が全く隣り合っていない並べ方は
$$ 180-96=84
$$
である。
したがって、求める確率は
$$ \frac{84}{180}=\frac{7}{15}
$$
である。
解説
重複を含む数字の並べ方では、まず重複順列で総数を数える必要がある。
この問題では、隣り合う可能性がある同じ数字は $1$ と $2$ だけである。$3$ と $4$ はそれぞれ $1$ 個しかないので、隣り合いの条件には関係しない。
「全く隣り合っていない」を直接数えるよりも、その反対である「$1$ が隣り合う」または「$2$ が隣り合う」を数え、総数から引く方が処理しやすい。ただし、$1$ も $2$ も隣り合う場合を二重に数えるため、包除原理で補正する必要がある。
答え
②
$$ 180
$$
③
$$ \frac{7}{15}
$$