解説

方針・初手

$n$ 回目で初めて赤玉が出るためには，最初の $n-1$ 回では赤玉が出ず，$n$ 回目に赤玉が出ればよい。

さらに，$n$ 回目の赤玉によって 4 色すべてが記録済みになるためには，最初の $n-1$ 回の中で白玉・青玉・黄玉の 3 色がすべて少なくとも 1 回ずつ出ている必要がある。

したがって，最初の $n-1$ 回に赤玉が出ず，かつ白・青・黄の 3 色がすべて出る確率を求め，最後に $n$ 回目に赤玉が出る確率を掛ける。

解法1

最初の $n-1$ 回の各試行について，赤玉以外の白玉・青玉・黄玉のどれかが出る並びを考える。

$n-1$ 回すべてで赤玉が出ない並びの総数は，白・青・黄の 3 色から選ぶので

$$ 3^{n-1}

$$

通りである。

このうち，白・青・黄の 3 色がすべて出ている並びの数を包除原理で数える。

3 色のうち少なくとも 1 色が出ない並びを除けばよい。

ある 1 色が出ない並びは，残り 2 色から選ぶので

$$ 2^{n-1}

$$

通りである。出ない色の選び方は 3 通りあるから，これを

$$ 3 \cdot 2^{n-1}

$$

通り引く。

ただし，2 色が出ない並び，すなわち 1 色だけで構成される並びは二重に引かれている。これは 3 通りあるので足し戻す。

よって，最初の $n-1$ 回で赤玉が出ず，かつ白・青・黄の 3 色がすべて出る並びの数は

$$ 3^{n-1}-3\cdot 2^{n-1}+3

$$

である。

各試行では 4 色が等確率で出るので，最初の $n-1$ 回と $n$ 回目を合わせた $n$ 回分の全事象数は

$$ 4^n

$$

通りである。

$n$ 回目は赤玉でなければならないので，条件を満たす並びの数は

$$ 3^{n-1}-3\cdot 2^{n-1}+3

$$

通りである。

したがって，求める確率は

$$ \frac{3^{n-1}-3\cdot 2^{n-1}+3}{4^n}

$$

である。

解法2

最初の $n-1$ 回について考える。$n$ 回目に赤玉が出る確率は

$$ \frac{1}{4}

$$

である。

また，最初の $n-1$ 回で赤玉が一度も出ず，白・青・黄の 3 色がすべて出る確率を求める。

最初の $n-1$ 回で赤玉が出ない確率は

$$ \left(\frac{3}{4}\right)^{n-1}

$$

である。

この条件のもとでは，出る色は白・青・黄の 3 色が等確率である。したがって，$n-1$ 回の中で白・青・黄の 3 色がすべて出る条件付き確率は，包除原理より

$$ 1-3\left(\frac{2}{3}\right)^{n-1}+3\left(\frac{1}{3}\right)^{n-1}

$$

である。

よって，求める確率は

$$ \left(\frac{3}{4}\right)^{n-1} \left\{ 1-3\left(\frac{2}{3}\right)^{n-1}+3\left(\frac{1}{3}\right)^{n-1} \right\} \cdot \frac{1}{4}

$$

である。これを整理すると，

$$ \frac{3^{n-1}-3\cdot 2^{n-1}+3}{4^n}

$$

となる。

解説

この問題では，「$n$ 回目に初めて赤玉が出る」という条件だけでなく，「その時点で 4 種類すべてが記録済み」という条件を同時に満たす必要がある。

赤玉は $n$ 回目に初めて出るので，最初の $n-1$ 回には赤玉は出ない。そのため，4 色すべてが記録済みになるには，最初の $n-1$ 回の間に白・青・黄がすべて出ていなければならない。

したがって本質は，「長さ $n-1$ の列で，3 種類すべてが少なくとも 1 回ずつ現れるものを数える」ことである。この部分に包除原理を使うのが標準的である。

答え

$$ \boxed{\frac{3^{n-1}-3\cdot 2^{n-1}+3}{4^n}}

$$