解説

方針・初手

$1-a-b$ を毎回書くと煩雑なので、

$$ c=1-a-b

$$

とおく。黄球 $1$ 個に対する操作は

$$ Y \to \begin{cases} 2Y & \text{確率 } a,\\ R & \text{確率 } b,\\ Y & \text{確率 } c \end{cases}

$$

であり、赤球・白球は次の操作で必ず白球 $1$ 個になる。

$W$ は「途中で赤球または白球になった球の名残」として数えられる。一方、$R$ は最後の3回目の操作で黄球から赤球になったものだけで生じる。この違いに注目する。

解法1

まず、黄球 $1$ 個から出発して、残り $2$ 回の操作を行ったときに白球が出る条件を考える。

黄球 $1$ 個が最初の操作で赤球になると、その次の操作で白球になる。したがって、残り $2$ 回の操作で白球が $1$ 個できる確率は $b$ である。逆に、最初の操作で赤球にならなければ、残り $2$ 回後の時点では白球はできない。

したがって、黄球 $1$ 個に対して残り $2$ 回の操作をしたとき、

$$ P(W=1)=b,\qquad P(W=0)=1-b

$$

である。

最初の黄球 $1$ 個に1回目の操作を行うと、次の3通りに分かれる。

（i） 赤球 $1$ 個になる場合

この確率は $b$ である。この赤球は2回目で白球になり、3回目でも白球のままであるから、最終的に $W=1$ である。

（ii） 黄球 $1$ 個になる場合

この確率は $c$ である。このあと残り $2$ 回の操作で白球ができる確率は $b$ である。

（iii） 黄球 $2$ 個になる場合

この確率は $a$ である。2個の黄球はそれぞれ独立に、残り $2$ 回の操作で白球を $1$ 個作る確率が $b$、白球を作らない確率が $1-b$ である。

よって、$W=2$ となるのは、1回目で黄球 $2$ 個になり、その2個がそれぞれ残り $2$ 回で白球を作る場合だけである。したがって

$$ p_1=a\cdot b^2=ab^2

$$

である。

また、$W\geqq 1$ となる確率は、上の3通りから

$$ \begin{aligned} p_2 &=b+cb+a{1-(1-b)^2}\\ &=b+cb+a(2b-b^2). \end{aligned}

$$

ここで $c=1-a-b$ を代入すると、

$$ \begin{aligned} p_2 &=b+b(1-a-b)+a(2b-b^2)\\ &=2b+ab-b^2-ab^2\\ &=b(2+a-b-ab). \end{aligned}

$$

次に、$R\geqq 3$ となる確率を求める。

3回目の操作後に赤球が残るのは、2回目の操作後に存在する黄球が、3回目の操作で赤球になる場合だけである。よって、2回目の操作後の黄球の個数を $N$ とすると、$R\geqq 3$ となるには $N\geqq 3$ が必要である。

2回目の操作後に黄球が $4$ 個になるには、1回目に黄球 $2$ 個になり、さらにその2個がともに黄球 $2$ 個ずつになる必要がある。したがって

$$ P(N=4)=a\cdot a^2=a^3

$$

である。

また、2回目の操作後に黄球が $3$ 個になるには、1回目に黄球 $2$ 個になり、その2個のうち一方が黄球 $2$ 個に、もう一方が黄球 $1$ 個になる必要がある。したがって

$$ P(N=3)=a\cdot 2ac=2a^2c

$$

である。

$N=3$ のとき、3個すべての黄球が赤球になる必要があるから、その確率は $b^3$ である。

$N=4$ のとき、4個の黄球のうち3個以上が赤球になればよいから、その確率は

$$ {}*{4}C*{3}b^3(1-b)+b^4=4b^3(1-b)+b^4

$$

である。

したがって

$$ \begin{aligned} p_3 &=P(N=3)b^3+P(N=4){4b^3(1-b)+b^4}\\ &=2a^2cb^3+a^3{4b^3(1-b)+b^4}\\ &=2a^2cb^3+a^3(4b^3-3b^4)\\ &=a^2b^3{2c+a(4-3b)}. \end{aligned}

$$

$c=1-a-b$ を代入すると、

$$ \begin{aligned} p_3 &=a^2b^3{2(1-a-b)+a(4-3b)}\\ &=a^2b^3(2+2a-2b-3ab). \end{aligned}

$$

解説

この問題は、球の個数が増えるため全事象を直接列挙しようとすると煩雑になる。しかし、白球と赤球の発生タイミングを分けて見るとかなり単純になる。

白球は「赤球または白球が次の操作で白球になる」ことで現れる。一方、最終時点の赤球は、3回目の操作で黄球から赤球になったものだけである。したがって、$W$ については「残り2回で白球を作るか」、$R$ については「2回目終了時点で黄球が何個あるか」を見るのが有効である。

特に $R\geqq 3$ では、2回目終了時点の黄球数が $3$ または $4$ の場合だけを調べればよい。不要な場合まで細かく列挙しないことが計算を短くするポイントである。

答え

**(1)**

$$ p_1=ab^2

$$

**(2)**

$$ p_2=b(2+a-b-ab)

$$

**(3)**

$$ p_3=a^2b^3(2+2a-2b-3ab)

$$