解説

方針・初手

$p_k$ は「すべて赤」または「すべて白」となる確率である。したがって、$1-p_k$ は「赤球と白球がともに含まれる確率」と考えると計算しやすい。

特に $k=2,3$ では、異なる色が混じる取り出し方を直接数える。

解法1

$n=a+b,\ s=ab$ とする。

まず $2$ 個取り出す場合を考える。すべて同じ色でないためには、赤球 $1$ 個、白球 $1$ 個を取り出せばよい。したがって

$$ 1-p_2=\frac{ab}{{}_{n}\mathrm{C}_{2}} =\frac{s}{\frac{n(n-1)}{2}} =\frac{2s}{n(n-1)}

$$

である。

次に $3$ 個取り出す場合を考える。すべて同じ色でない場合は、赤球 $2$ 個と白球 $1$ 個、または赤球 $1$ 個と白球 $2$ 個である。よって

$$ \begin{aligned} 1-p_3 &= \frac{{}_{a}\mathrm{C}_{2}b+a{}_{b}\mathrm{C}_{2}}{{}_{n}\mathrm{C}_{3}} \end{aligned} $$

である。分子は

$$ \begin{aligned} {}_{a}\mathrm{C}_{2}b+a{}_{b}\mathrm{C}_{2} &= \frac{a(a-1)b+ab(b-1)}{2} \\ \frac{ab(a+b-2)}{2} \\ \frac{s(n-2)}{2} \end{aligned} $$

となる。したがって

$$ \begin{aligned} 1-p_3 &= \frac{\frac{s(n-2)}{2}}{\frac{n(n-1)(n-2)}{6}} \\ \frac{3s}{n(n-1)} \end{aligned} $$

である。

次に $p_2=\frac{1}{2}$ とする。このとき

$$ 1-p_2=\frac{1}{2}

$$

であり、上で求めた式から

$$ \frac{2s}{n(n-1)}=\frac{1}{2}

$$

すなわち

$$ 4s=n(n-1)

$$

を得る。

よって

$$ \begin{aligned} 1-p_3 &= \frac{3s}{n(n-1)} \\ \frac{3}{4} \end{aligned} $$

であるから

$$ p_3=\frac{1}{4}

$$

である。

次に $p_4$ と $\frac{1}{8}$ を比較する。$4$ 個すべてが同じ色である確率は

$$ \begin{aligned} p_4 &= \frac{{}_{a}\mathrm{C}_{4}+{}_{b}\mathrm{C}_{4}}{{}_{n}\mathrm{C}_{4}} \end{aligned} $$

である。ここで

$$ \begin{aligned} {}_{a}\mathrm{C}_{4}+{}_{b}\mathrm{C}_{4} &= \frac{a(a-1)(a-2)(a-3)+b(b-1)(b-2)(b-3)}{24} \end{aligned} $$

である。

分子の $24$ 倍を対称式で整理する。$a+b=n,\ ab=s$ より

$$ \begin{aligned} &a(a-1)(a-2)(a-3)+b(b-1)(b-2)(b-3)\\ &=a^4+b^4-6(a^3+b^3)+11(a^2+b^2)-6(a+b)\\ &=n^4-6n^3+11n^2-6n+s(-4n^2+18n-22)+2s^2 \end{aligned}

$$

である。

ここに $4s=n(n-1)$、すなわち $s=\frac{n(n-1)}{4}$ を代入すると

$$ \begin{aligned} a(a-1)(a-2)(a-3)+b(b-1)(b-2)(b-3) &= \frac{n(n-1)^2(n-4)}{8} \end{aligned} $$

となる。

したがって

$$ \begin{aligned} p_4 &= \frac{\frac{1}{24}\cdot \frac{n(n-1)^2(n-4)}{8}}{\frac{n(n-1)(n-2)(n-3)}{24}} \\ \frac{(n-1)(n-4)}{8(n-2)(n-3)} \end{aligned} $$

である。

$a,b\geqq 4$ より $n=a+b\geqq 8$ であり、$(n-2)(n-3)>0$ である。そこで $\frac{1}{8}$ と比較すると

$$ p_4<\frac{1}{8}

$$

は

$$ \frac{(n-1)(n-4)}{8(n-2)(n-3)}<\frac{1}{8}

$$

と同値である。分母は正なので

$$ (n-1)(n-4)<(n-2)(n-3)

$$

を示せばよい。

実際、

$$ (n-2)(n-3)-(n-1)(n-4)=2>0

$$

であるから

$$ p_4<\frac{1}{8}

$$

である。

解説

この問題では、$p_k$ を直接数えるよりも、$1-p_k$ を「赤白が混じる確率」として数える方が簡単である。特に $k=2,3$ では、混じる場合の組合せが少ないため、補集合を使う処理が有効である。

また、$p_2=\frac{1}{2}$ から得られる条件

$$ 4s=n(n-1)

$$

をその後の計算に使うのが要点である。$p_4$ の比較では、$a,b$ を個別に求める必要はなく、対称式として $n=a+b,\ s=ab$ で整理すればよい。

答え

**(1)**

$$ 1-p_2=\frac{2s}{n(n-1)},\qquad 1-p_3=\frac{3s}{n(n-1)}

$$

**(2)(i)**

$$ p_3=\frac{1}{4}

$$

**(2)(ii)**

$$ p_4<\frac{1}{8}

$$