解説

方針・初手

円周上の $3$ 点でできる三角形が円の中心を含まないのは、選んだ $3$ 点がある半円内にすべて入る場合である。

$n$ は奇数なので、正 $n$ 角形には中心をはさんで正反対にある頂点が存在しない。したがって「半円の端点上に頂点があるかどうか」という境界の場合を考えなくてよい。

解法1

$n=2m+1$ とおく。このとき $m=\dfrac{n-1}{2}$ である。

頂点を円周上に順に並べて考える。ある頂点を $A$ とし、そこから時計回りに見て次の $m$ 個の頂点は、$A$ から見て同じ半円内にある頂点である。

円の中心を含まない三角形は、選ばれた $3$ 頂点がある半円内に収まる場合である。そこで補集合を数える。

まず、中心を含まない三角形を数える。$3$ 点がある半円内に収まるとき、その中で時計回りに最初に来る頂点を $A$ と決めると、残り $2$ 点は $A$ の次の $m$ 個の頂点から選ばれる。

したがって、$A$ を固定したときの選び方は

$$ {}_{m}\mathrm{C}_{2}

$$

通りである。

$A$ は $n$ 通りあるので、中心を含まない三角形の個数は

$$ n{}_{m}\mathrm{C}_{2}

$$

である。

一方、全体の三角形の個数は

$$ {}_{n}\mathrm{C}_{3}

$$

である。

よって、中心を含む三角形の個数は

$$ {}_{n}\mathrm{C}_{3}-n{}_{m}\mathrm{C}_{2}

$$

である。ここで $n=2m+1$ を用いて計算すると、

$$ \begin{aligned} {}_{2m+1}\mathrm{C}_{3}-(2m+1){}_{m}\mathrm{C}_{2} &=\frac{(2m+1)(2m)(2m-1)}{6}-(2m+1)\frac{m(m-1)}{2} \\ &=(2m+1)\left\{\frac{m(2m-1)}{3}-\frac{m(m-1)}{2}\right\} \\ &=(2m+1)\frac{m(m+1)}{6}. \end{aligned}

$$

したがって求める確率は

$$ \begin{aligned} p_n &= \frac{(2m+1)\dfrac{m(m+1)}{6}}{{}_{2m+1}\mathrm{C}_{3}} \end{aligned} $$

である。分母を展開すると

$$ \begin{aligned} {}_{2m+1}\mathrm{C}_{3} &= \frac{(2m+1)(2m)(2m-1)}{6} \end{aligned} $$

だから、

$$ \begin{aligned} p_n &= \frac{(2m+1)m(m+1)}{(2m+1)(2m)(2m-1)} \\ &= \frac{m+1}{2(2m-1)}. \end{aligned}

$$

最後に $m=\dfrac{n-1}{2}$ を代入する。

$$ \begin{aligned} p_n &= \frac{\dfrac{n+1}{2}}{2(n-2)} \\ \frac{n+1}{4(n-2)}. \end{aligned} $$

解法2

選ばれた $3$ 頂点を円周上に時計回りに並べ、それらの間にある辺数を順に

$$ a,\ b,\ c

$$

とする。すると

$$ a+b+c=n

$$

であり、$a,b,c$ はすべて正の整数である。

$n=2m+1$ とおく。円の中心が三角形の内部にあるためには、選ばれた $3$ 点の間にできるどの弧も半円以上になってはならない。つまり

$$ a\le m,\quad b\le m,\quad c\le m

$$

が必要十分である。

まず、正の整数解

$$ a+b+c=2m+1

$$

の総数は

$$ {}_{2m}\mathrm{C}_{2}

$$

である。

ここから、いずれかが $m+1$ 以上であるものを除く。例えば $a\ge m+1$ のとき、$a'=a-m$ とおくと

$$ a'+b+c=m+1

$$

となり、正の整数解の個数は

$$ {}_{m}\mathrm{C}_{2}

$$

である。

$b\ge m+1,\ c\ge m+1$ の場合も同様である。また、$2$ つ以上が同時に $m+1$ 以上になることはない。なぜなら、その和だけで $2m+2$ 以上となり、$a+b+c=2m+1$ に反するからである。

したがって条件を満たす $(a,b,c)$ の個数は

$$ {}_{2m}\mathrm{C}_{2}-3{}_{m}\mathrm{C}_{2}

$$

である。これを計算すると、

$$ \begin{aligned} {}_{2m}\mathrm{C}_{2}-3{}_{m}\mathrm{C}_{2} &=m(2m-1)-\frac{3m(m-1)}{2} \\ &=\frac{m(m+1)}{2}. \end{aligned}

$$

始点となる頂点は $2m+1=n$ 通りある。ただし、同じ三角形は選んだ $3$ 頂点のそれぞれを始点として $3$ 回数えられる。

よって中心を含む三角形の個数は

$$ \begin{aligned} \frac{n}{3}\cdot \frac{m(m+1)}{2} &= \frac{n m(m+1)}{6} \end{aligned} $$

である。

全体の三角形の個数は

$$ \begin{aligned} {}_{n}\mathrm{C}_{3} &= {}_{2m+1}\mathrm{C}_{3} \\ \frac{(2m+1)(2m)(2m-1)}{6} \end{aligned} $$

であるから、

$$ \begin{aligned} p_n &= \frac{\dfrac{(2m+1)m(m+1)}{6}}{\dfrac{(2m+1)(2m)(2m-1)}{6}} \\ &= \frac{m+1}{2(2m-1)}. \end{aligned}

$$

$m=\dfrac{n-1}{2}$ より、

$$ \begin{aligned} p_n &= \frac{n+1}{4(n-2)}. \end{aligned} $$

解説

この問題の核心は、「円の中心が三角形の内部に入らない場合」を数えることである。直接、中心を含む三角形を数えようとすると図形的な判定が煩雑になるが、含まない場合は「$3$ 点が同じ半円内に収まる」と言い換えられるため、数え上げが単純になる。

$n$ が奇数であることも重要である。偶数の場合は直径の両端に頂点が存在し、中心が辺上に乗る境界の場合を別に扱う必要がある。今回は $n$ が奇数なので、そのような例外は生じない。

答え

$$ \boxed{p_n=\frac{n+1}{4(n-2)}}

$$