解説

方針・初手

円周上の4点を円周に沿った順に並べ、隣り合う選点間の弧の長さを見る。

$n$ は奇数なので、直径の両端に頂点が来ることはない。したがって、選んだ4点がある半円内にすべて入るかどうかで、中心 $O$ が四角形の内部に入るかどうかを判定できる。

解法1

$n=2m+1$ とおく。ただし $m \geqq 2$ である。

正 $n$ 角形の頂点を円周上に順に並べる。選ばれた4点を円周に沿った順に見たとき、隣り合う選点どうしの間にある弧の長さを、正 $n$ 角形の辺の個数で数える。

このとき、4つの弧の長さの和は $n$ である。

中心 $O$ が選ばれた4点からなる四角形の内部に入らないのは、選ばれた4点がある半円内にすべて含まれる場合である。

$n=2m+1$ だから、半円より短い弧に含まれる頂点数は、連続する頂点で数えて高々 $m+1$ 個である。したがって、4点が半円内に含まれることは、円周上で選ばれていない大きな弧が存在し、その弧の長さが辺の個数で少なくとも $m+1$ であることと同値である。

このような「大きな弧」は高々1つである。実際、2つあればその長さの和が

$$ (m+1)+(m+1)=2m+2>2m+1=n

$$

となり、不可能である。

よって、中心 $O$ を内部に含まない選び方を数えるには、大きな弧の直後にある選点を1つ固定すればよい。

その選点を1つ決める方法は $n$ 通りである。この選点から時計回りに見て、残り3点は次の $m$ 個の頂点の中から選べばよい。したがって、中心 $O$ を内部に含まない選び方の数は

$$ n{}_{m}\mathrm{C}_{3}

$$

である。

一方、4点の選び方全体は

$$ {}_{n}\mathrm{C}_{4}={}_{2m+1}\mathrm{C}_{4}

$$

通りである。

したがって、求める確率は

$$ \begin{aligned} p_n &= 1-\frac{n{}_{m}\mathrm{C}_{3}}{{}_{2m+1}\mathrm{C}_{4}} \end{aligned} $$

である。これを整理する。

$$ \begin{aligned} {}_{2m+1}\mathrm{C}_{4} &= \frac{(2m+1)(2m)(2m-1)(2m-2)}{24} \\ \frac{(2m+1)m(m-1)(2m-1)}{6} \end{aligned} $$

また、

$$ \begin{aligned} n{}_{m}\mathrm{C}_{3} &= (2m+1)\frac{m(m-1)(m-2)}{6} \end{aligned} $$

であるから、

$$ \begin{aligned} \frac{n{}_{m}\mathrm{C}_{3}}{{}_{2m+1}\mathrm{C}_{4}} &= \frac{m-2}{2m-1} \end{aligned} $$

となる。よって

$$ \begin{aligned} p_n &= 1-\frac{m-2}{2m-1} \\ \frac{m+1}{2m-1} \end{aligned} $$

である。

最後に $m=\dfrac{n-1}{2}$ を代入すると、

$$ \begin{aligned} p_n &= \frac{\frac{n-1}{2}+1}{n-2} \\ \frac{n+1}{2(n-2)} \end{aligned} $$

を得る。

解説

この問題の核心は、4点そのものを直接数えるのではなく、「中心 $O$ を含まない場合」を数えることである。

円周上の点で作る多角形が中心を含まないのは、選んだ点がある半円内にすべて収まる場合である。今回 $n$ が奇数なので、頂点がちょうど直径の両端に来る境界の場合を考えなくてよい。

また、中心を含まない場合には、選ばれていない大きな弧がただ1つ存在する。この一意性により、重複なく

$$ n{}_{m}\mathrm{C}_{3}

$$

と数えられる点が重要である。

答え

$$ \boxed{p_n=\frac{n+1}{2(n-2)}}

$$