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数学A 確率「確率(反復試行)」の問題1 解説
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解説
方針・初手
さいころの出目によって、各方向へ進む確率は
$$ P(\text{右})=\frac{2}{6}=\frac{1}{3},\quad P(\text{左})=\frac{2}{6}=\frac{1}{3},\quad P(\text{上})=\frac{1}{6},\quad P(\text{下})=\frac{1}{6}
$$
である。
したがって、各問では「何回右・左・上・下へ進めば指定された点に着くか」を数え、その順序の数を掛ければよい。
解法1
右へ進む回数を $R$、左へ進む回数を $L$、上へ進む回数を $U$、下へ進む回数を $D$ とする。
最終的な座標は
$$ (R-L,\ U-D)
$$
である。
(1)
さいころを $2$ 度投げて点 $(1,1)$ に到達するには、右へ $1$ 回、上へ $1$ 回進むしかない。
順序は
$$ RU,\ UR
$$
の $2$ 通りである。
よって求める確率は
$$ 2\cdot \frac{1}{3}\cdot \frac{1}{6} =\frac{2}{18} =\frac{1}{9}
$$
である。
(2)
さいころを $4$ 度投げて点 $(2,2)$ に到達するには、
$$ R-L=2,\quad U-D=2,\quad R+L+U+D=4
$$
を満たす必要がある。
$x$ 座標を $2$ 増やすには、少なくとも右へ $2$ 回進む必要があり、$y$ 座標を $2$ 増やすには、少なくとも上へ $2$ 回進む必要がある。合計でちょうど $4$ 回なので、
$$ R=2,\quad L=0,\quad U=2,\quad D=0
$$
しかない。
つまり、$4$ 回のうち右が $2$ 回、上が $2$ 回であればよい。その順序の数は
$$ \frac{4!}{2!2!}=6
$$
通りである。
よって求める確率は
$$ \begin{aligned} 6\left(\frac{1}{3}\right)^2\left(\frac{1}{6}\right)^2 &= 6\cdot \frac{1}{9}\cdot \frac{1}{36} \\ \frac{6}{324} \\ \frac{1}{54} \end{aligned} $$
である。
(3)
さいころを $4$ 度投げて点 $(1,1)$ に到達するには、
$$ R-L=1,\quad U-D=1,\quad R+L+U+D=4
$$
を満たす必要がある。
前の $2$ 式より
$$ R=L+1,\quad U=D+1
$$
である。これを回数の合計に代入すると、
$$ (L+1)+L+(D+1)+D=4
$$
すなわち
$$ 2L+2D+2=4
$$
より
$$ L+D=1
$$
である。
したがって、場合は次の $2$ 通りに分かれる。
**(i)**
$L=1,\ D=0$ のとき
このとき
$$ R=2,\quad L=1,\quad U=1,\quad D=0
$$
である。
順序の数は
$$ \frac{4!}{2!1!1!}=12
$$
通りである。
この場合の確率は
$$ \begin{aligned} 12\left(\frac{1}{3}\right)^3\left(\frac{1}{6}\right) &= 12\cdot \frac{1}{27}\cdot \frac{1}{6} \\ \frac{12}{162} \\ \frac{2}{27} \end{aligned} $$
である。
**(ii)**
$L=0,\ D=1$ のとき
このとき
$$ R=1,\quad L=0,\quad U=2,\quad D=1
$$
である。
順序の数は
$$ \frac{4!}{1!2!1!}=12
$$
通りである。
この場合の確率は
$$ \begin{aligned} 12\left(\frac{1}{3}\right)\left(\frac{1}{6}\right)^3 &= 12\cdot \frac{1}{3}\cdot \frac{1}{216} \\ \frac{12}{648} \\ \frac{1}{54} \end{aligned} $$
である。
以上より、求める確率は
$$ \begin{aligned} \frac{2}{27}+\frac{1}{54} &= \frac{4}{54}+\frac{1}{54} \\ \frac{5}{54} \end{aligned} $$
である。
解説
この問題では、各方向へ進む確率が等しくない点に注意する必要がある。右と左はそれぞれ出目が $2$ 個ずつ対応するので確率は $\frac{1}{3}$、上と下はそれぞれ出目が $1$ 個ずつ対応するので確率は $\frac{1}{6}$ である。
単に経路の本数だけを数えると誤りである。特に (3) では、同じ $12$ 通りの並べ方でも、右・左・上・下の回数の組合せによって確率が異なるため、場合ごとに確率を計算する必要がある。
答え
**(1)**
$$ \frac{1}{9}
$$
**(2)**
$$ \frac{1}{54}
$$
**(3)**
$$ \frac{5}{54}
$$