解説

方針・初手

さいころの目をそのまま区別するより、点 $P$ の移動の種類でまとめる。

$1,2,3$ のいずれかが出る確率は

$$ \frac{1}{6}+\frac{1}{6}+\frac{1}{6}=\frac{1}{2}

$$

であり、このとき移動は $(1,0)$ である。

また、$4$ が出る確率は $a$ で移動は $(0,1)$、$5,6$ のいずれかが出る確率は

$$ 2\left(\frac{1}{4}-\frac{a}{2}\right)=\frac{1}{2}-a

$$

であり、このとき移動は $(-1,-1)$ である。

よって、$k$ 回後に $(2,1)$ にいるためには、これら3種類の移動回数を数えればよい。

解法1

移動 $(1,0)$ の回数を $r$、移動 $(0,1)$ の回数を $s$、移動 $(-1,-1)$ の回数を $t$ とする。

$k$ 回さいころを振るので

$$ r+s+t=k

$$

である。また、最終位置が $(2,1)$ である条件は

$$ (r-t,\ s-t)=(2,1)

$$

である。したがって

$$ r=t+2,\qquad s=t+1

$$

となる。

これを $r+s+t=k$ に代入すると

$$ (t+2)+(t+1)+t=k

$$

より

$$ k=3t+3

$$

である。

したがって、$k$ 回後に $(2,1)$ にいるためには、$k$ が $3$ の倍数で、さらに $k\geqq 3$ でなければならない。

**(1)**

$p_1,p_2,p_3$ を求める。

$k=1,2$ のときは $k=3t+3$ を満たす非負整数 $t$ が存在しないので、

$$ p_1=0,\qquad p_2=0

$$

である。

$k=3$ のときは

$$ 3=3t+3

$$

より $t=0$ である。したがって

$$ r=2,\qquad s=1,\qquad t=0

$$

である。

つまり、$3$ 回のうち、移動 $(1,0)$ が $2$ 回、移動 $(0,1)$ が $1$ 回起こればよい。その確率は

$$ \frac{3!}{2!1!}\left(\frac{1}{2}\right)^2 a

$$

であるから、

$$ p_3=3\cdot \frac{1}{4}a=\frac{3a}{4}

$$

となる。

**(2)**

$p_6$ を求める。

$k=6$ のときは

$$ 6=3t+3

$$

より $t=1$ である。したがって

$$ r=3,\qquad s=2,\qquad t=1

$$

である。

よって、$6$ 回のうち、移動 $(1,0)$ が $3$ 回、移動 $(0,1)$ が $2$ 回、移動 $(-1,-1)$ が $1$ 回起こればよい。

その確率は

$$ \frac{6!}{3!2!1!}\left(\frac{1}{2}\right)^3 a^2\left(\frac{1}{2}-a\right)

$$

である。

ここで

$$ \frac{6!}{3!2!1!}=60

$$

だから、

$$ p_6=60\cdot \frac{1}{8}a^2\left(\frac{1}{2}-a\right)

$$

すなわち

$$ p_6=\frac{15}{2}a^2\left(\frac{1}{2}-a\right)

$$

である。

**(3)**

$p_6$ が最大になるときの $a$ を求める。

$$ p_6=\frac{15}{2}a^2\left(\frac{1}{2}-a\right)

$$

であり、定数倍は最大値を与える $a$ に影響しないので、

$$ f(a)=a^2\left(\frac{1}{2}-a\right)

$$

を $0\leqq a\leqq \frac{1}{2}$ で最大にすればよい。

展開すると

$$ f(a)=\frac{1}{2}a^2-a^3

$$

であるから、

$$ f'(a)=a-3a^2=a(1-3a)

$$

となる。

よって、区間 $0\leqq a\leqq \frac{1}{2}$ における停留点は

$$ a=0,\qquad a=\frac{1}{3}

$$

である。

端点と停留点で調べると、

$$ f(0)=0,\qquad f\left(\frac{1}{2}\right)=0

$$

であり、

$$ f\left(\frac{1}{3}\right)=\frac{1}{9}\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\right)=\frac{1}{54}>0

$$

である。

したがって、$p_6$ は

$$ a=\frac{1}{3}

$$

のとき最大となる。

解説

この問題では、さいころの各目を個別に扱う必要はない。点 $P$ の移動は3種類だけなので、それぞれの移動が何回起こるかを数えるのが本質である。

特に、移動回数を $r,s,t$ とおくと、最終位置の条件から

$$ r=t+2,\qquad s=t+1

$$

が得られる。これにより、到達可能な回数 $k$ が

$$ k=3t+3

$$

に限られることが分かる。この条件から $p_1,p_2$ がただちに $0$ になる。

$p_6$ では、移動回数が $(r,s,t)=(3,2,1)$ に一意に決まるため、あとは多項分布の形で数えればよい。最後の最大化は、$a$ の範囲 $0\leqq a\leqq \frac{1}{2}$ を忘れずに、端点も含めて確認する必要がある。

答え

**(1)**

$$ p_1=0,\qquad p_2=0,\qquad p_3=\frac{3a}{4}

$$

**(2)**

$$ p_6=\frac{15}{2}a^2\left(\frac{1}{2}-a\right)

$$

**(3)**

$$ a=\frac{1}{3}

$$