解説

方針・初手

$a_k$ は二項分布の各項である。隣り合う項の大小は比

$$ r_k=\frac{a_{k+1}}{a_k}

$$

を調べれば判定できる。したがって、まず $r_k$ を具体的に計算し、その後 $r_k$ が $k$ に関して単調減少することを用いて、$a_k$ の増減を決める。

解法1

まず、$0\leq k\leq n-1$ に対して

$$ a_k={}_nC_kp^k(1-p)^{n-k}

$$

であるから、

$$ \begin{aligned} r_k &=\frac{a_{k+1}}{a_k} \\ &=\frac{{}*nC*{k+1}p^{k+1}(1-p)^{n-k-1}}{{}_nC_kp^k(1-p)^{n-k}} \\ &=\frac{{}*nC*{k+1}}{{}_nC_k}\cdot \frac{p}{1-p}. \end{aligned}

$$

ここで

$$ \begin{aligned} \frac{{}*nC*{k+1}}{{}_nC_k} &= \frac{\frac{n!}{(k+1)!(n-k-1)!}}{\frac{n!}{k!(n-k)!}} \\ \frac{n-k}{k+1} \end{aligned} $$

である。よって

$$ r_k=\frac{(n-k)p}{(k+1)(1-p)}

$$

が成り立つ。

次に、$k=1,2,\dots,n-1$ に対して $r_{k-1}>r_k$ を示す。

上で求めた式より、

$$ \begin{aligned} r_{k-1} &= \frac{(n-k+1)p}{k(1-p)},\qquad\\ r_k &= \frac{(n-k)p}{(k+1)(1-p)} \end{aligned} $$

である。ここで $p>0,\ 1-p>0$ なので、大小比較では正の共通因子 $p/(1-p)$ を除いてよい。

したがって、

$$ r_{k-1}>r_k

$$

は

$$ \frac{n-k+1}{k}>\frac{n-k}{k+1}

$$

と同値である。両辺の分母は正であるから、交差に掛けて

$$ (n-k+1)(k+1)>k(n-k)

$$

を示せばよい。左辺から右辺を引くと、

$$ \begin{aligned} (n-k+1)(k+1)-k(n-k) &=(n-k+1)k+(n-k+1)-k(n-k) \\ &=k+(n-k+1) \\ &=n+1 \end{aligned}

$$

であり、$n$ は自然数だから $n+1>0$ である。よって

$$ r_{k-1}>r_k

$$

が成り立つ。

次に、$i$ を $0$ 以上 $n-1$ 以下の整数とし、$r_i>1$ とする。すでに示したように $r_k$ は $k$ が増えるにつれて減少するので、$0\leq k\leq i$ に対して

$$ r_k\geq r_i>1

$$

である。

また

$$ r_k=\frac{a_{k+1}}{a_k}

$$

であり、$a_k>0$ であるから、$r_k>1$ は

$$ a_{k+1}>a_k

$$

と同値である。したがって、$k=0,1,2,\dots,i$ に対して

$$ a_k<a_{k+1}

$$

が成り立つ。

最後に、$n=100,\ p=\dfrac34$ の場合を考える。このとき

$$ 1-p=\frac14

$$

であるから、

$$ \begin{aligned} r_k &= \frac{(100-k)\cdot \frac34}{(k+1)\cdot \frac14} \\ \frac{3(100-k)}{k+1} \end{aligned} $$

となる。

$a_k$ が増加する条件は $r_k>1$ であるから、

$$ \frac{3(100-k)}{k+1}>1

$$

を解く。$k+1>0$ より、

$$ 3(100-k)>k+1

$$

すなわち

$$ 300-3k>k+1

$$

である。よって

$$ 299>4k

$$

となり、

$$ k<\frac{299}{4}=74.75

$$

である。したがって整数 $k$ については

$$ k=0,1,2,\dots,74

$$

のとき $a_k<a_{k+1}$ である。

一方、

$$ r_{75}=\frac{3(100-75)}{76}=\frac{75}{76}<1

$$

である。さらに $r_k$ は単調減少するので、$k\geq 75$ では $r_k<1$ である。したがって

$$ a_{76}<a_{75},\quad a_{77}<a_{76},\quad \dots

$$

となる。

以上より、$a_k$ は $k=75$ まで増加し、その後減少する。したがって、$a_k$ が最大となるのは

$$ k=75

$$

である。

解説

この問題の中心は、二項分布の各項 $a_k$ を直接比較するのではなく、隣接項の比 $r_k=a_{k+1}/a_k$ を使う点である。

$r_k>1$ なら $a_{k+1}>a_k$、$r_k<1$ なら $a_{k+1}<a_k$ である。さらに $r_k$ が単調減少するため、一度 $1$ を下回ると、それ以降はずっと減少する。したがって最大値を与える $k$ は、$r_k$ が $1$ をまたぐ位置から決まる。

$n=100,\ p=\dfrac34$ の場合は、$r_{74}>1$ かつ $r_{75}<1$ であるから、$a_{75}$ が前後の項より大きく、最大となる。

答え

**(1)**

$$ r_k=\frac{(n-k)p}{(k+1)(1-p)} \qquad (k=0,1,2,\dots,n-1)

$$

**(2)**

$$ r_{k-1}>r_k \qquad (k=1,2,\dots,n-1)

$$

が成り立つ。

**(3)**

$r_i>1$ のとき、$0\leq k\leq i$ に対して

$$ a_k<a_{k+1}

$$

が成り立つ。

**(4)**

$$ k=75

$$