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数学A 確率「確率(反復試行)」の問題10 解説
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解説
方針・初手
A君の得点を $10$ ポイント単位で表す。はじめ A君は $40$ ポイントなので、A君の得点を
$$ X=4
$$
から始まるものとする。
表が出れば $X$ は $1$ 増え、裏が出れば $X$ は $1$ 減る。A君の得点が $0$ になるとは $X=0$ になることであり、B君の得点が $0$ になるとは $X=8$ になることである。
したがって、$X=4$ から出発し、各回で $+1$ または $-1$ する確率 $\dfrac{1}{2}$ の移動を考えればよい。
解法1
$n$ 回目の硬貨投げで A君の得点がなくなるとは、$n$ 回目に初めて $X=0$ になることである。
まず $p_4$ を求める。$X=4$ から $4$ 回で $X=0$ に到達するには、4回すべて裏でなければならない。よって
$$ p_4=\left(\frac{1}{2}\right)^4=\frac{1}{16}
$$
である。
次に $p_5$ を求める。$5$ 回後に $X=0$ となるには、$+1$ の回数を $a$、$-1$ の回数を $b$ として
$$ a+b=5,\qquad 4+a-b=0
$$
を満たす必要がある。これより
$$ b-a=4
$$
であるが、$a+b=5$ と合わせると
$$ 2b=9
$$
となり、整数解をもたない。したがって
$$ p_5=0
$$
である。
次に $p_6$ を求める。$6$ 回後に $X=0$ となるには
$$ a+b=6,\qquad 4+a-b=0
$$
を満たす必要がある。よって
$$ b-a=4
$$
であり、
$$ a=1,\qquad b=5
$$
である。つまり、6回のうち表が1回、裏が5回出る場合を考えればよい。
ただし、途中で $X=0$ になってしまう場合は、その時点でゲームが終了するので除外する。
表が出る位置で場合分けする。
（i） 表が1回目に出る場合
得点の推移は
$$ 4\to 5\to 4\to 3\to 2\to 1\to 0
$$
となり、6回目に初めて $0$ になる。
（ii） 表が2回目に出る場合
得点の推移は
$$ 4\to 3\to 4\to 3\to 2\to 1\to 0
$$
となり、6回目に初めて $0$ になる。
（iii） 表が3回目に出る場合
得点の推移は
$$ 4\to 3\to 2\to 3\to 2\to 1\to 0
$$
となり、6回目に初めて $0$ になる。
（iv） 表が4回目に出る場合
得点の推移は
$$ 4\to 3\to 2\to 1\to 2\to 1\to 0
$$
となり、6回目に初めて $0$ になる。
（v） 表が5回目または6回目に出る場合
最初の4回がすべて裏になるため、4回目の時点で
$$ 4\to 3\to 2\to 1\to 0
$$
となり、すでにゲームが終了している。したがって、これは $p_6$ には含まれない。
よって有効な並びは $4$ 通りである。各並びの確率は $\left(\dfrac{1}{2}\right)^6$ であるから、
$$ p_6=4\left(\frac{1}{2}\right)^6=\frac{4}{64}=\frac{1}{16}
$$
である。
最後に、6回目かそれ以前でゲームが終了する確率を求める。
ゲームが終了するのは、$X=0$ または $X=8$ になったときである。出発点 $X=4$ は中央なので、A君が $0$ になる場合とB君が $0$ になる場合は対称である。
4回目に終了するには、4回すべて裏、または4回すべて表であればよい。したがって確率は
$$ 2\left(\frac{1}{2}\right)^4=\frac{1}{8}
$$
である。
5回目に初めて終了することは、上と同じく偶奇が合わないため不可能である。
6回目に A君の得点がなくなる確率は
$$ p_6=\frac{1}{16}
$$
である。また、対称性により、6回目に B君の得点がなくなる確率も
$$ \frac{1}{16}
$$
である。
したがって、6回目かそれ以前でゲームが終了する確率は
$$ \frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{16} =\frac{1}{8}+\frac{1}{8} =\frac{1}{4}
$$
である。
解説
この問題は、得点を $10$ ポイント単位に直すと、$4$ から出発して $0$ または $8$ に到達したら終了する単純なランダムウォークになる。
$p_n$ は「$n$ 回後に $0$ にいる確率」ではなく、「$n$ 回目に初めて $0$ に到達する確率」である。この違いが重要である。たとえば、6回のうち表1回・裏5回の並びでも、最初の4回がすべて裏なら4回目でゲームが終了しているので、$p_6$ には数えない。
また、5回目に終了することがないのは、$4$ から $0$ または $8$ までの距離が $4$ であり、移動回数と到達距離の偶奇が合わないためである。
答え
$$ p_4=\frac{1}{16},\qquad p_5=0,\qquad p_6=\frac{1}{16}
$$
したがって、
$$ \text{[カ]}=\frac{1}{16},\qquad \text{[キ]}=0,\qquad \text{[ク]}=\frac{1}{16}
$$
また、6回目かそれ以前でゲームが終了する確率は
$$ \text{[ケ]}=\frac{1}{4}
$$