解説

方針・初手

表が出る確率が $p$、裏が出る確率が $1-p$ である。

「表が指定回数出るまで投げ続ける」とき、裏がちょうど $k$ 回出るとは、最後の投げで指定回数目の表が出て、それ以前の投げの中に必要な個数の表と $k$ 個の裏が含まれる、ということである。

解法1

A について考える。X さんは、表が $2$ 回出るまでコイン A を投げ続ける。

裏がちょうど $k$ 回出るとき、最後の投げは $2$ 回目の表である。したがって、最後の投げより前の $k+1$ 回の中に、表が $1$ 回、裏が $k$ 回出ていればよい。

その並べ方は、$k+1$ 回のうち表が出る位置を $1$ つ選ぶので $k+1$ 通りである。よって

$$ a_k=(k+1)p^2(1-p)^k

$$

である。ただし、$k=0,1,2,\ldots$ である。

次に B について考える。Y さんは、表が $3$ 回出るまでコイン B を投げ続ける。

裏がちょうど $k$ 回出るとき、最後の投げは $3$ 回目の表である。したがって、最後の投げより前の $k+2$ 回の中に、表が $2$ 回、裏が $k$ 回出ていればよい。

その並べ方は、$k+2$ 回のうち表が出る位置を $2$ つ選ぶので

$$ {}_{k+2}\mathrm{C}_{2}

$$

通りである。よって

$$ b_k={}_{k+2}\mathrm{C}_{2}p^3(1-p)^k

$$

である。ただし、$k=0,1,2,\ldots$ である。

最後に、A の裏の回数と B の裏の回数の和が $3$ となる確率を求める。A と B の試行は独立であるから、A の裏の回数が $i$ 回、B の裏の回数が $3-i$ 回である確率を足し合わせればよい。

$$ c=\sum_{i=0}^{3}a_i b_{3-i}

$$

ここで

$$ a_i=(i+1)p^2(1-p)^i

$$

また

$$ b_{3-i}={}_{5-i}\mathrm{C}_{2}p^3(1-p)^{3-i}

$$

であるから、

$$ \begin{aligned} c &=\sum_{i=0}^{3}(i+1)p^2(1-p)^i{}_{5-i}\mathrm{C}_{2}p^3(1-p)^{3-i} \\ &=p^5(1-p)^3\sum_{i=0}^{3}(i+1){}_{5-i}\mathrm{C}_{2} \end{aligned}

$$

和の部分を計算すると、

$$ \begin{aligned} \sum_{i=0}^{3}(i+1){}_{5-i}\mathrm{C}_{2} &=1{}_{5}\mathrm{C}_{2}+2{}_{4}\mathrm{C}_{2}+3{}_{3}\mathrm{C}_{2}+4{}_{2}\mathrm{C}_{2} \\ &=10+12+9+4 \\ &=35 \end{aligned}

$$

したがって

$$ c=35p^5(1-p)^3

$$

である。

解説

この問題は、指定回数の表が出るまでに出た裏の回数を数える問題であり、最後の投げが必ず指定回数目の表になる点が重要である。

A の場合は最後の投げより前に表が $1$ 回、B の場合は最後の投げより前に表が $2$ 回出ている必要がある。ここを区別せずに全体の並べ方を数えると、最後が表である条件を落としやすい。

また、(3) では A と B が独立であるため、裏の回数を $i$ と $3-i$ に分けて積を取り、その和を求める。

答え

**(1)**

$$ a_k=(k+1)p^2(1-p)^k \qquad (k=0,1,2,\ldots)

$$

**(2)**

$$ b_k={}_{k+2}\mathrm{C}_{2}p^3(1-p)^k \qquad (k=0,1,2,\ldots)

$$

**(3)**

$$ c=35p^5(1-p)^3

$$