解説

方針・初手

終了するのは、$n$ 回目にちょうど4回目の表が出るときである。

したがって、$n$ 回目は必ず表であり、最初の $n-1$ 回の中に表がちょうど3回出ていればよい。この条件を数え上げる。

解法1

$n$ 回目で硬貨投げが終了するためには、次の2条件が必要十分である。

• 最初の $n-1$ 回のうち、表がちょうど3回出る。
• $n$ 回目に表が出る。

最初の $n-1$ 回のうち、表が出る3回を選ぶ方法は

$$ {}_{n-1}\mathrm{C}_{3}

$$

通りである。

また、硬貨投げの結果は各回で表・裏の2通りが同様に確からしいので、特定の $n$ 回の並びが起こる確率は

$$ \left(\frac{1}{2}\right)^n

$$

である。

よって

$$ P_n={}_{n-1}\mathrm{C}_{3}\left(\frac{1}{2}\right)^n

$$

である。したがって

$$ P_n=\frac{(n-1)(n-2)(n-3)}{6\cdot 2^n}

$$

となる。

特に、

$$ P_4={}_{3}\mathrm{C}_{3}\left(\frac{1}{2}\right)^4=\frac{1}{16}

$$

であり、

$$ P_5={}_{4}\mathrm{C}_{3}\left(\frac{1}{2}\right)^5=\frac{4}{32}=\frac{1}{8}

$$

である。

次に、比 $\dfrac{P_{n+1}}{P_n}$ を求める。

$$ P_{n+1}={}_{n}\mathrm{C}_{3}\left(\frac{1}{2}\right)^{n+1}

$$

であるから、

$$ \begin{aligned} \frac{P_{n+1}}{P_n} &= \frac{{}_{n}\mathrm{C}_{3}\left(\frac{1}{2}\right)^{n+1}}{{}_{n-1}\mathrm{C}_{3}\left(\frac{1}{2}\right)^n} \\ \frac{1}{2}\cdot \frac{{}_{n}\mathrm{C}_{3}}{{}_{n-1}\mathrm{C}_{3}} \end{aligned} $$

である。

ここで

$$ \begin{aligned} \frac{{}_{n}\mathrm{C}_{3}}{{}_{n-1}\mathrm{C}_{3}} &= \frac{\frac{n(n-1)(n-2)}{6}}{\frac{(n-1)(n-2)(n-3)}{6}} \\ \frac{n}{n-3} \end{aligned} $$

なので、

$$ \begin{aligned} \frac{P_{n+1}}{P_n} &= \frac{n}{2(n-3)} \end{aligned} $$

となる。

$P_n$ の増減はこの比で判定できる。

$$ \frac{P_{n+1}}{P_n}>1

$$

となる条件は

$$ \frac{n}{2(n-3)}>1

$$

である。$n\geqq 4$ なので $2(n-3)>0$ であり、

$$ n>2n-6

$$

より

$$ n<6

$$

である。

また、

$$ \frac{P_{n+1}}{P_n}=1

$$

となるのは

$$ n=6

$$

のときである。

したがって、$P_n$ は $n=4,5,6$ までは増加し、$P_6=P_7$ となり、その後は減少する。

ゆえに $P_n$ を最大にする $n$ は

$$ n=6,\ 7

$$

である。

そのときの値は

$$ \begin{aligned} P_6={}_{5}\mathrm{C}_{3}\left(\frac{1}{2}\right)^6 &= \frac{10}{64} \\ \frac{5}{32} \end{aligned} $$

であり、また

$$ \begin{aligned} P_7={}_{6}\mathrm{C}_{3}\left(\frac{1}{2}\right)^7 &= \frac{20}{128} \\ \frac{5}{32} \end{aligned} $$

である。

解説

この問題は、4回目の表が出た瞬間に終了するという条件を、「最後の1回が表で、それ以前に表が3回」と言い換えるのが核心である。

単に $n$ 回中に表が4回出る確率ではない。$n$ 回目で終了するためには、$n$ 回目が4回目の表でなければならないため、最初の $n-1$ 回に表がちょうど3回という条件が必要である。

最大値を求める部分では、$P_n$ を直接微分するのではなく、離散的な数列として $\dfrac{P_{n+1}}{P_n}$ を調べるのが自然である。比が $1$ より大きければ増加、$1$ より小さければ減少する。

答え

**(1)**

$$ P_4=\frac{1}{16},\qquad P_5=\frac{1}{8}

$$

**(2)**

$$ \begin{aligned} P_n={}_{n-1}\mathrm{C}_{3}\left(\frac{1}{2}\right)^n &= \frac{(n-1)(n-2)(n-3)}{6\cdot 2^n} \qquad (n\geqq 4) \end{aligned} $$

**(3)**

$$ \begin{aligned} \frac{P_{n+1}}{P_n} &= \frac{n}{2(n-3)} \qquad (n\geqq 4) \end{aligned} $$

**(4)**

$P_n$ を最大にする $n$ は

$$ n=6,\ 7

$$

であり、そのとき

$$ P_n=\frac{5}{32}

$$