解説

方針・初手

各問について、正解を選ぶ確率は $1/3$、誤りを選ぶ確率は $2/3$ である。

各問題の選び方は独立であるから、基本的には二項分布で数える。ただし、(3) は「ちょうど $5$ 題連続」であり、$6$ 題以上連続正解する場合を含めないことに注意する。

解法1

**(1)**

すべて誤りとなるには、$8$ 問すべてで誤った選択肢を選べばよい。

各問で誤る確率は $2/3$ であるから、求める確率は

$$ \left(\frac{2}{3}\right)^8=\frac{256}{6561}

$$

である。

**(2)**

問 $1$ から問 $4$ までに $2$ 題以上正解する確率をまず求める。

$4$ 問中ちょうど $k$ 題正解する確率は

$$ {}_4C_k\left(\frac{1}{3}\right)^k\left(\frac{2}{3}\right)^{4-k}

$$

である。したがって、$2$ 題以上正解する確率は

$$ \begin{aligned} &{}_4C_2\left(\frac{1}{3}\right)^2\left(\frac{2}{3}\right)^2 +{}_4C_3\left(\frac{1}{3}\right)^3\left(\frac{2}{3}\right) +{}_4C_4\left(\frac{1}{3}\right)^4 \\ &=6\cdot \frac{1}{9}\cdot \frac{4}{9} +4\cdot \frac{1}{27}\cdot \frac{2}{3} +\frac{1}{81} \\ &=\frac{24}{81}+\frac{8}{81}+\frac{1}{81} \\ &=\frac{33}{81}=\frac{11}{27} \end{aligned}

$$

である。

次に、問 $5$ から問 $8$ までに $1$ 題以上正解する確率を求める。これは、$4$ 問すべて誤る場合の余事象を考えるとよい。

$$ 1-\left(\frac{2}{3}\right)^4 =1-\frac{16}{81} =\frac{65}{81}

$$

問 $1$ から問 $4$ までの結果と、問 $5$ から問 $8$ までの結果は独立であるから、求める確率は

$$ \frac{11}{27}\cdot \frac{65}{81} =\frac{715}{2187}

$$

である。

**(3)**

正解を $C$、誤りを $W$ と表す。

「ちょうど $5$ 題連続正解する」とは、$C$ が $5$ 個連続する部分があり、かつ $C$ が $6$ 個以上連続する部分はないという意味である。

$8$ 問の中で、$C$ がちょうど $5$ 個連続する場合を、正解数ごとに分けて数える。

**(i) 正解数が $5$ 題の場合**

$C$ が $5$ 個連続しているブロックを置く。長さ $8$ の列の中で、$5$ 個連続のブロックの開始位置は $1,2,3,4$ の $4$ 通りである。

この場合、残りはすべて $W$ であるから、確率への寄与は

$$ 4\left(\frac{1}{3}\right)^5\left(\frac{2}{3}\right)^3

$$

である。

**(ii) 正解数が $6$ 題の場合**

$C$ が $5$ 個連続するブロックのほかに、もう $1$ 個の $C$ がある。この追加の $C$ は、$5$ 連続ブロックに隣接すると $6$ 連続になってしまうので、少なくとも $1$ 個の $W$ を挟んで離れていなければならない。

この条件を満たす列は $6$ 通りである。したがって、確率への寄与は

$$ 6\left(\frac{1}{3}\right)^6\left(\frac{2}{3}\right)^2

$$

である。

**(iii) 正解数が $7$ 題の場合**

$W$ が $1$ 個だけある。この $W$ によって $C$ の連続が分断され、最大の連続正解数がちょうど $5$ になる必要がある。

長さ $8$ の列で $W$ が $1$ 個だけあり、最大連続正解数が $5$ になるのは

$$ CCCCCWCC,\quad CCWCCCCC

$$

の $2$ 通りである。

したがって、確率への寄与は

$$ 2\left(\frac{1}{3}\right)^7\left(\frac{2}{3}\right)

$$

である。

以上より、求める確率は

$$ \begin{aligned} &4\left(\frac{1}{3}\right)^5\left(\frac{2}{3}\right)^3 +6\left(\frac{1}{3}\right)^6\left(\frac{2}{3}\right)^2 +2\left(\frac{1}{3}\right)^7\left(\frac{2}{3}\right) \\ &=\frac{32}{6561}+\frac{24}{6561}+\frac{4}{6561} \\ &=\frac{60}{6561} \\ &=\frac{20}{2187} \end{aligned}

$$

である。

解説

(1), (2) は独立試行の基本問題であり、二項分布または余事象を使えばよい。

(3) では、「$5$ 題連続」と「ちょうど $5$ 題連続」を混同しないことが重要である。$6$ 題以上連続して正解する場合は、「ちょうど $5$ 題連続」には含めない。そのため、単に $5$ 個連続する場所を数えるだけでは重複や条件漏れが起こる。

今回は正解数を $5,6,7$ 題に分けると、$6$ 連続以上を排除しやすい。正解数が $8$ 題の場合は $8$ 題連続正解であり、「ちょうど $5$ 題連続」ではないので除外する。

答え

**(1)**

$$ \frac{256}{6561}

$$

**(2)**

$$ \frac{715}{2187}

$$

**(3)**

$$ \frac{20}{2187}

$$