解説

方針・初手

成功確率が一定で、各アタックの成否は独立と考える。 (1) は二項分布で「成功2回・失敗1回」を数える。 (2) は、1回のアタックが成功する確率を、Aが打つ場合とBが打つ場合に分けて求める。

解法1

まず、Aが1回アタックを成功させる確率は $\dfrac{2}{3}$、失敗する確率は

$$ 1-\frac{2}{3}=\frac{1}{3}

$$

である。

(1)

Aが3回アタックを打ち、そのうち2回成功し1回失敗する場合を考える。

3回のうち、成功する2回の選び方は

$$ {}_3\mathrm{C}_{2}=3

$$

通りである。

よって求める確率は

$$ {}_3\mathrm{C}_{2}\left(\frac{2}{3}\right)^2\left(\frac{1}{3}\right) =3\cdot \frac{4}{9}\cdot \frac{1}{3} =\frac{4}{9}

$$

である。

(2)

試合全体で、Aは全体の $\dfrac{3}{5}$、Bは全体の $\dfrac{2}{5}$ の割合でアタックを打つ。

したがって、1回のアタックについて、それが成功する確率は

$$ \frac{3}{5}\cdot \frac{2}{3}+\frac{2}{5}\cdot \frac{1}{2}

$$

である。

これを計算すると、

$$ \frac{3}{5}\cdot \frac{2}{3}+\frac{2}{5}\cdot \frac{1}{2} =\frac{2}{5}+\frac{1}{5} =\frac{3}{5}

$$

となる。

よって、AB合わせて3回アタックを打つとき、3回とも成功する確率は

$$ \left(\frac{3}{5}\right)^3 =\frac{27}{125}

$$

である。

解法2

(2) について、3回のうちAが何回打つかで場合分けしても求められる。

3回のうちAが $k$ 回、Bが $3-k$ 回アタックを打つとする。ただし $k=0,1,2,3$ である。

このとき、そのような打ち手の並びになる確率は

$$ {}_3\mathrm{C}_{k}\left(\frac{3}{5}\right)^k\left(\frac{2}{5}\right)^{3-k}

$$

である。

さらに、その場合に3回とも成功する確率は

$$ \left(\frac{2}{3}\right)^k\left(\frac{1}{2}\right)^{3-k}

$$

である。

したがって求める確率は

$$ \sum_{k=0}^{3} {}_3\mathrm{C}_{k} \left(\frac{3}{5}\right)^k \left(\frac{2}{5}\right)^{3-k} \left(\frac{2}{3}\right)^k \left(\frac{1}{2}\right)^{3-k}

$$

である。

ここで、

$$ \left(\frac{3}{5}\right)^k\left(\frac{2}{3}\right)^k =\left(\frac{2}{5}\right)^k

$$

また、

$$ \left(\frac{2}{5}\right)^{3-k}\left(\frac{1}{2}\right)^{3-k} =\left(\frac{1}{5}\right)^{3-k}

$$

だから、

$$ \begin{aligned} \sum_{k=0}^{3} {}_3\mathrm{C}_{k} \left(\frac{2}{5}\right)^k \left(\frac{1}{5}\right)^{3-k} &= \left(\frac{2}{5}+\frac{1}{5}\right)^3 \\ \left(\frac{3}{5}\right)^3 \\ \frac{27}{125} \end{aligned} $$

となる。

解説

(1) は典型的な二項分布の問題である。成功確率が $\dfrac{2}{3}$ の試行を3回行い、ちょうど2回成功する確率を求めればよい。

(2) では、AとBの成功確率が異なるため、単純にAまたはBだけの成功確率を使ってはいけない。まず「1回のアタックが成功する確率」を、Aが打つ場合とBが打つ場合に分けて求めるのが自然である。

Aが打って成功する確率は $\dfrac{3}{5}\cdot \dfrac{2}{3}$、Bが打って成功する確率は $\dfrac{2}{5}\cdot \dfrac{1}{2}$ である。この和が1回あたりの成功確率になる。

答え

**(1)**

$$ \frac{4}{9}

$$

**(2)**

$$ \frac{27}{125}

$$