解説

方針・初手

$P_n$ を組合せで表し、隣り合う項 $P_n$ と $P_{n+1}$ の大小を比較する。最大値を与える $n$ は、数列 $P_n$ が増加から減少へ切り替わるところを見ればよい。

解法1

3個の球を同時に取り出すので、全事象の数は

$$ {}_{n+6}\mathrm{C}_{3}

$$

である。

青球が1個、赤球が2個である取り出し方は、青球6個から1個、赤球$n$個から2個を選ぶので

$$ {}_{6}\mathrm{C}_{1}{}_{n}\mathrm{C}_{2}

$$

通りである。したがって

$$ P_n=\frac{{}_{6}\mathrm{C}_{1}{}_{n}\mathrm{C}_{2}}{{}_{n+6}\mathrm{C}_{3}}

$$

である。

これを整理すると、

$$ \begin{aligned} P_n &=\frac{6\cdot \dfrac{n(n-1)}{2}}{\dfrac{(n+6)(n+5)(n+4)}{6}}\\ &=\frac{18n(n-1)}{(n+6)(n+5)(n+4)} \end{aligned}

$$

となる。

次に、$P_n>P_{n+1}$ となる条件を調べる。

$$ \begin{aligned} P_{n+1} &= \frac{18(n+1)n}{(n+7)(n+6)(n+5)} \end{aligned} $$

であるから、

$$ \frac{18n(n-1)}{(n+6)(n+5)(n+4)}

>

\frac{18n(n+1)}{(n+7)(n+6)(n+5)}

$$

を考える。$n\geqq 2$ なので、正の共通因子 $18n$、および $(n+6)(n+5)$ を消去できる。

$$ \frac{n-1}{n+4}>\frac{n+1}{n+7}

$$

両辺の分母は正であるから、交差にかけてよい。

$$ (n-1)(n+7)>(n+1)(n+4)

$$

展開すると、

$$ n^2+6n-7>n^2+5n+4

$$

よって

$$ n>11

$$

である。

したがって、$P_n>P_{n+1}$ を満たす最小の自然数 $n$ は

$$ n=12

$$

である。

また、上の比較より、$n<11$ のときは $P_n<P_{n+1}$、$n=11$ のときは $P_{11}=P_{12}$、$n>11$ のときは $P_n>P_{n+1}$ である。

よって、$P_n$ は $n=11$ まで増加し、$n=11$ と $n=12$ で同じ値をとり、その後は減少する。

したがって、$P_n$ を最大にする $n$ は

$$ n=11,\ 12

$$

である。

解説

この問題では、まず $P_n$ を正確に組合せで表すことが重要である。同時に3個取り出すので、順序を考えずに組合せで数える。

最大値を求める場面では、$P_n$ の式を直接微分する必要はない。$n$ は自然数なので、隣り合う項 $P_n$ と $P_{n+1}$ を比較すれば、数列の増減が分かる。

特に $P_n>P_{n+1}$ の条件が $n>11$ となるため、$n=11$ と $n=12$ の間で増加から減少へ切り替わる。ただし $n=11$ では $P_{11}=P_{12}$ となるので、最大値を与える $n$ は1つではなく2つある。

答え

**(1)**

$$ \begin{aligned} P_n=\frac{{}_{6}\mathrm{C}_{1}{}_{n}\mathrm{C}_{2}}{{}_{n+6}\mathrm{C}_{3}} &= \frac{18n(n-1)}{(n+6)(n+5)(n+4)} \end{aligned} $$

**(2)**

$$ n=12

$$

**(3)**

$$ n=11,\ 12

$$