解説

方針・初手

袋 A は「黒玉を引いた回数」だけ白玉の個数が増えるので、白玉が初めて $22$ 個になるのは、黒玉を $2$ 回目に引いた直後である。したがって「3回目の試行終了時に初めて $22$ 個」とは、3回目が黒玉で、1回目・2回目のうちちょうど1回だけ黒玉を引くことである。

袋 B, C は同時に取り出すので、組合せによる数え上げを用いる。

解法1

袋 A について

袋 A では、白玉を引いた場合は袋の中身は変わらず、黒玉を引いた場合は黒玉が $1$ 個減り、白玉が $1$ 個増える。

白玉が初めて $22$ 個になるには、黒玉をちょうど $2$ 回引く必要がある。これが3回目の試行終了時に初めて起こるので、3回目は黒玉であり、1回目・2回目のうちちょうど1回が黒玉である。

考えられる並びは

$$ \text{白，黒，黒}

$$

または

$$ \text{黒，白，黒}

$$

である。

（i） 白，黒，黒 の場合

1回目に白玉を引く確率は

$$ \frac{20}{30}=\frac{2}{3}

$$

であり、このとき袋の中身は変わらない。2回目に黒玉を引く確率は

$$ \frac{10}{30}=\frac{1}{3}

$$

である。この後、袋 A の中身は白玉 $21$ 個、黒玉 $9$ 個となる。3回目に黒玉を引く確率は

$$ \frac{9}{30}=\frac{3}{10}

$$

である。よって、この場合の確率は

$$ \begin{aligned} \frac{2}{3}\cdot \frac{1}{3}\cdot \frac{3}{10} &= \frac{1}{15} \end{aligned} $$

である。

（ii） 黒，白，黒 の場合

1回目に黒玉を引く確率は

$$ \frac{10}{30}=\frac{1}{3}

$$

である。この後、袋 A の中身は白玉 $21$ 個、黒玉 $9$ 個となる。

2回目に白玉を引く確率は

$$ \frac{21}{30}=\frac{7}{10}

$$

であり、白玉は袋に戻すので袋の中身は変わらない。3回目に黒玉を引く確率は

$$ \frac{9}{30}=\frac{3}{10}

$$

である。よって、この場合の確率は

$$ \begin{aligned} \frac{1}{3}\cdot \frac{7}{10}\cdot \frac{3}{10} &= \frac{7}{100} \end{aligned} $$

である。

したがって、求める確率は

$$ \begin{aligned} \frac{1}{15}+\frac{7}{100} &= \frac{20}{300}+\frac{21}{300} \\ \frac{41}{300} \end{aligned} $$

である。

よって

$$ \boxed{\text{カ}=\frac{41}{300}}

$$

である。

袋 B について

袋 B には白玉 $20$ 個、黒玉 $10$ 個、合計 $30$ 個が入っている。ここから $2$ 個を同時に取り出す。

全事象の数は

$$ \begin{aligned} {}_ {30}C_2 &= \frac{30\cdot 29}{2} \\ 435 \end{aligned} $$

である。

白玉と黒玉が $1$ 個ずつである場合の数は

$$ \begin{aligned} {}_ {20}C_1{}_ {10}C_1 &= 20\cdot 10 \\ 200 \end{aligned} $$

である。したがって、その確率は

$$ \begin{aligned} \frac{200}{435} &= \frac{40}{87} \end{aligned} $$

である。

よって

$$ \boxed{\text{キ}=\frac{40}{87}}

$$

である。

また、2個とも黒玉である場合の数は

$$ \begin{aligned} {}_ {10}C_2 &= 45 \end{aligned} $$

である。したがって、その確率は

$$ \begin{aligned} \frac{45}{435} &= \frac{3}{29} \end{aligned} $$

である。

よって

$$ \boxed{\text{ク}=\frac{3}{29}}

$$

である。

袋 C について

袋 C から $10$ 個の玉を同時に取り出す。取り出した $10$ 個の中に黒玉が $n$ 個入っている確率を $P_n$ とすると、黒玉 $n$ 個、白玉 $10-n$ 個を選ぶので

$$ \begin{aligned} P_n &= \frac{{}_ {10}C_n{}_ {20}C_{10-n}}{{}_ {30}C_{10}} \end{aligned} $$

である。

したがって、$0\leqq k\leqq 9$ に対して

$$ \begin{aligned} \frac{P_{k+1}}{P_k} &= \frac{{}_ {10}C_{k+1}{}_ {20}C_{9-k}}{{}_ {10}C_k{}_ {20}C_{10-k}} \end{aligned} $$

である。

ここで

$$ \begin{aligned} \frac{{}_ {10}C_{k+1}}{{}_ {10}C_k} &= \frac{10-k}{k+1} \end{aligned} $$

また

$$ \begin{aligned} \frac{{}_ {20}C_{9-k}}{{}_ {20}C_{10-k}} &= \frac{10-k}{k+11} \end{aligned} $$

であるから、

$$ \begin{aligned} \frac{P_{k+1}}{P_k} &= \frac{10-k}{k+1}\cdot \frac{10-k}{k+11} \\ \frac{(10-k)^2}{(k+1)(k+11)} \end{aligned} $$

である。

よって

$$ \boxed{\text{ケ}=\frac{(10-k)^2}{(k+1)(k+11)}}

$$

である。

次に、$P_n$ が最大となる $n$ を調べる。$P_{k+1}\geqq P_k$ となる条件は

$$ \frac{(10-k)^2}{(k+1)(k+11)}\geqq 1

$$

である。分母は正なので、

$$ (10-k)^2\geqq (k+1)(k+11)

$$

を解けばよい。これを整理すると

$$ k^2-20k+100\geqq k^2+12k+11

$$

すなわち

$$ 89\geqq 32k

$$

である。したがって

$$ k\leqq \frac{89}{32}

$$

である。

$k$ は整数なので、

$$ k=0,1,2

$$

のとき $P_{k+1}\geqq P_k$ であり、$k=3$ 以降では $P_{k+1}<P_k$ となる。

したがって

$$ P_0<P_1<P_2<P_3

$$

かつ

$$ P_3>P_4>P_5>\cdots

$$

であるから、$P_n$ が最大値をとるのは

$$ n=3

$$

のときである。

よって

$$ \boxed{\text{コ}=3}

$$

である。

解説

袋 A は、白玉を引いた場合には状態が変わらず、黒玉を引いた場合にだけ白玉の個数が $1$ 増える点が重要である。したがって、白玉が $22$ 個になる時刻は「黒玉を2回目に引いた時刻」と一致する。

袋 B と袋 C は、同時に取り出す試行なので順序を考えず、組合せで数える。特に袋 C では、$P_n$ を直接最大化するよりも、隣り合う確率の比 $\dfrac{P_{k+1}}{P_k}$ を調べる方が簡潔である。

答え

$$ \boxed{\text{カ}=\frac{41}{300}}

$$

$$ \boxed{\text{キ}=\frac{40}{87}}

$$

$$ \boxed{\text{ク}=\frac{3}{29}}

$$

$$ \boxed{\text{ケ}=\frac{(10-k)^2}{(k+1)(k+11)}}

$$

$$ \boxed{\text{コ}=3}

$$