解説

方針・初手

サイコロの目を、移動方向ごとにまとめて扱う。

$1,2$ が出る確率は $\dfrac{2}{6}=\dfrac{1}{3}$ で、これは $x$ 方向に $+1$ 動く。 $3,4$ が出る確率も $\dfrac{1}{3}$ で、これは $x$ 方向に $-1$ 動く。 $5,6$ はそれぞれ確率 $\dfrac{1}{6}$ で、$y$ 方向に $+1,-1$ 動く。

4回の移動後の座標は、各方向に何回動いたかで決まるので、回数の組合せを数える。

解法1

$x$ 方向に $+1$ 動くことを $R$、$x$ 方向に $-1$ 動くことを $L$、$y$ 方向に $+1$ 動くことを $U$、$y$ 方向に $-1$ 動くことを $D$ とする。

それぞれの確率は

$$ P(R)=\frac{1}{3},\quad P(L)=\frac{1}{3},\quad P(U)=\frac{1}{6},\quad P(D)=\frac{1}{6}

$$

である。

（1） 最後に $(2,2)$ に来るには、4回のうち $R$ が2回、$U$ が2回でなければならない。 $L$ や $D$ が1回でも出ると、それを打ち消すための移動が必要になり、4回では $(2,2)$ に到達できない。

したがって確率は

$$ {}_{4}\mathrm{C}_{2}\left(\frac{1}{3}\right)^2\left(\frac{1}{6}\right)^2 =\frac{6}{324} =\frac{1}{54}

$$

である。

**(2)**

$x$ 軸上だけを動くので、4回とも $x$ 方向への移動でなければならない。 最後に $(2,0)$ に来るには、$R$ が3回、$L$ が1回であればよい。

したがって確率は

$$ {}_{4}\mathrm{C}_{1}\left(\frac{1}{3}\right)^3\left(\frac{1}{3}\right) =4\left(\frac{1}{3}\right)^4 =\frac{4}{81}

$$

である。

（3） 最後に $(0,0)$ に戻るには、$R$ と $L$ の回数が等しく、かつ $U$ と $D$ の回数も等しくなければならない。

4回の試行なので、可能な場合は次の3通りである。

**(i)**

$R$ が2回、$L$ が2回

このとき確率は

$$ {}_{4}\mathrm{C}_{2}\left(\frac{1}{3}\right)^2\left(\frac{1}{3}\right)^2 =\frac{6}{81} =\frac{2}{27}

$$

である。

**(ii)**

$R,L,U,D$ がそれぞれ1回

このとき確率は

$$ 4!\left(\frac{1}{3}\right)\left(\frac{1}{3}\right)\left(\frac{1}{6}\right)\left(\frac{1}{6}\right) =\frac{24}{324} =\frac{2}{27}

$$

である。

**(iii)**

$U$ が2回、$D$ が2回

このとき確率は

$$ {}_{4}\mathrm{C}_{2}\left(\frac{1}{6}\right)^2\left(\frac{1}{6}\right)^2 =\frac{6}{1296} =\frac{1}{216}

$$

である。

よって求める確率は

$$ \frac{2}{27}+\frac{2}{27}+\frac{1}{216} =\frac{16}{216}+\frac{16}{216}+\frac{1}{216} =\frac{33}{216} =\frac{11}{72}

$$

である。

解説

この問題では、サイコロの目をそのまま6通りで考えるよりも、移動方向ごとの確率にまとめると整理しやすい。

ただし、$x$ 方向の正負はそれぞれ確率 $\dfrac{1}{3}$、$y$ 方向の正負はそれぞれ確率 $\dfrac{1}{6}$ であり、4方向が等確率ではない点に注意する必要がある。

特に (3) では、原点に戻る条件を「正方向と負方向の回数がそれぞれ等しい」と言い換えることが重要である。4回という偶数回の移動なので、$x$ 方向だけで打ち消す場合、$y$ 方向だけで打ち消す場合、両方向で1回ずつ打ち消す場合の3通りに分かれる。

答え

**(1)**

$$ \frac{1}{54}

$$

**(2)**

$$ \frac{4}{81}

$$

**(3)**

$$ \frac{11}{72}

$$