解説

方針・初手

勝者を順に文字列で表すと、優勝が決まるのは同じ文字が連続して現れた瞬間である。

ただし、第1回戦は $A$ と $B$ の対戦なので、第1回戦の勝者は $A$ または $B$ であり、連勝が起こらない限り、以後の勝者列は周期的に決まる。この「連勝しない場合の勝者列」をまず押さえる。

解法1

第1回戦の勝者が $A$ のとき、連勝が起こらない限り、勝者列は

$$ A,C,B,A,C,B,A,\cdots

$$

となる。

第1回戦の勝者が $B$ のとき、連勝が起こらない限り、勝者列は

$$ B,C,A,B,C,A,B,\cdots

$$

となる。

優勝は同じ文字が連続したときに決まるので、例えば $A$ が優勝するには、直前の勝者が $A$ であるところで、次も $A$ が勝てばよい。

(1)

第7回戦までに $A$ が優勝する場合を列挙する。

第1回戦の勝者が $A$ の場合、連勝が起こらないときの列は

$$ A,C,B,A,C,B,A,\cdots

$$

である。したがって、第7回戦までに $A$ が連勝して優勝するのは

$$ AA,\quad ACBAA

$$

である。

第1回戦の勝者が $B$ の場合、連勝が起こらないときの列は

$$ B,C,A,B,C,A,B,\cdots

$$

である。したがって、第7回戦までに $A$ が連勝して優勝するのは

$$ BCAA,\quad BCABCAA

$$

である。

よって、求める場合は

$$ AA,\quad ACBAA,\quad BCAA,\quad BCABCAA

$$

である。

(2)

第 $n$ 回戦までに優勝が決まらないとは、第2回戦から第 $n$ 回戦まで、直前の勝者が連勝しないということである。

各試合では両者の戦力が同等なので、直前の勝者が再び勝つ確率も、負ける確率もそれぞれ

$$ \frac{1}{2}

$$

である。

優勝が決まらないためには、第2回戦から第 $n$ 回戦までの $n-1$ 回すべてで、直前の勝者が負けなければならない。したがって、

$$ \left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}

$$

である。

(3)

$C$ が優勝するのは、直前の勝者が $C$ である状態で、次の試合にも $C$ が勝つときである。

連勝が起こらない場合、第1回戦の勝者が $A$ でも $B$ でも、第2回戦の勝者は $C$ である。その後、勝者列は周期 $3$ で回るので、$C$ が優勝する可能性があるのは

$$ 3,6,9,\cdots

$$

回戦である。

第 $3+3k$ 回戦で初めて $C$ が連勝して優勝する確率は、第 $3+3k-1$ 回戦まで優勝が決まらず、さらに第 $3+3k$ 回戦で $C$ が勝つ確率である。

したがって、

$$ \begin{aligned} \left(\frac{1}{2}\right)^{3+3k-2}\cdot \frac{1}{2} &= \left(\frac{1}{2}\right)^{2+3k} \end{aligned} $$

である。

よって、

$$ \begin{aligned} p_n &= \sum_{k=0}^{\left\lfloor \frac{n-3}{3}\right\rfloor} \left(\frac{1}{2}\right)^{2+3k} \quad (n\geqq 3) \end{aligned} $$

であり、$n=1,2$ のときは $p_n=0$ である。

したがって極限は無限等比級数になり、

$$ \begin{aligned} \lim_{n\to\infty}p_n &= \sum_{k=0}^{\infty} \left(\frac{1}{2}\right)^{2+3k} &= \frac{\frac{1}{4}}{1-\frac{1}{8}} \\ \frac{2}{7} \end{aligned} $$

である。

解説

この問題では、各試合の勝敗を独立に数え上げるよりも、「連勝が起こらない限り、勝者列が周期的に決まる」ことに注目するのが有効である。

優勝が決まらない間は、直前の勝者が次の試合で必ず負けている。したがって、勝者列は自由に分岐するのではなく、第1回戦の勝者が決まるとその後は周期 $3$ の列になる。

特に $C$ の優勝は第 $3,6,9,\cdots$ 回戦でしか起こらない。この周期性に気づけば、(3) は等比級数として処理できる。

答え

**(1)**

$$ AA,\quad ACBAA,\quad BCAA,\quad BCABCAA

$$

**(2)**

$$ \left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}

$$

**(3)**

$$ \lim_{n\to\infty}p_n=\frac{2}{7}

$$