解説

方針・初手

双方が初めてともに $4$ 勝以上になるには、$n$ 回目の直前、どちらか一方がちょうど $3$ 勝で、もう一方がすでに $4$ 勝以上している必要がある。

したがって、$n$ 回目に「まだ $3$ 勝だった側」が勝って $4$ 勝に到達する場合を数える。

解法1

$n$ 回目に初めて双方が $4$ 勝以上になるためには、少なくとも合計 $8$ 勝が必要なので、$n<8$ では

$$ x_n=0

$$

である。

以下、$n \geqq 8$ とする。

$n$ 回目のゲームで初めて双方が $4$ 勝以上になる場合は、次の $2$ 通りである。

**(i)**

$n$ 回目に A が勝ち、A がちょうど $4$ 勝目をあげる場合

このとき、$n-1$ 回目までに A はちょうど $3$ 勝している必要がある。残りの $n-4$ 回は B の勝ちである。

よって、この確率は

$$ \begin{aligned} {}_{n-1}C_3 p^3(1-p)^{n-4}\cdot p &= {}_{n-1}C_3 p^4(1-p)^{n-4} \end{aligned} $$

である。

**(ii)**

$n$ 回目に B が勝ち、B がちょうど $4$ 勝目をあげる場合

同様に、$n-1$ 回目までに B はちょうど $3$ 勝している必要がある。残りの $n-4$ 回は A の勝ちである。

よって、この確率は

$$ \begin{aligned} {}_{n-1}C_3 (1-p)^3p^{n-4}\cdot (1-p) &= {}_{n-1}C_3 (1-p)^4p^{n-4} \end{aligned} $$

である。

したがって、$n \geqq 8$ において

$$ \begin{aligned} x_n &= {}_{n-1}C_3\left\{p^4(1-p)^{n-4}+(1-p)^4p^{n-4}\right\} \end{aligned} $$

となる。

以上より、

$$ x_n= \begin{cases} 0 & (n<8),\\ {}_{n-1}C_3\left\{p^4(1-p)^{n-4}+(1-p)^4p^{n-4}\right\} & (n\geqq 8) \end{cases}

$$

である。

次に、$p=\dfrac12$ とする。このとき、$n\geqq 8$ で

$$ \begin{aligned} x_n &= {}*{n-1}C_3\left\{\left(\frac12\right)^4\left(\frac12\right)^{n-4} + \left(\frac12\right)^4\left(\frac12\right)^{n-4}\right\} \\ &= {}*{n-1}C_3\cdot 2\left(\frac12\right)^n \\ &= \frac{{}_{n-1}C_3}{2^{n-1}} \end{aligned}

$$

となる。

ここで

$$ a_n=\frac{{}_{n-1}C_3}{2^{n-1}}

$$

とおく。$n\geqq 8$ に対して、隣り合う比を調べると

$$ \begin{aligned} \frac{a_{n+1}}{a_n} &= \frac{{}*nC_3}{2^n}\cdot\frac{2^{n-1}}{{}*{n-1}C_3} \\ \frac12\cdot\frac{{}*nC_3}{{}*{n-1}C_3} \end{aligned} $$

である。

また、

$$ \begin{aligned} \frac{{}*nC_3}{{}*{n-1}C_3} &= \frac{n}{n-3} \end{aligned} $$

だから、

$$ \begin{aligned} \frac{a_{n+1}}{a_n} &= \frac{n}{2(n-3)} \end{aligned} $$

となる。

$n\geqq 8$ では

$$ \frac{n}{2(n-3)}<1

$$

であるから、$a_n$ は $n\geqq 8$ で単調減少する。

したがって、$x_n$ を最大にするのは、取りうる最小の $n$ である

$$ n=8

$$

である。

解説

この問題では、「初めて双方が $4$ 勝以上になる」という条件を、直前の勝数に言い換えることが重要である。

$n$ 回目で初めて条件を満たすなら、$n-1$ 回目まではどちらか一方がまだ $3$ 勝以下である。しかし、$n$ 回目の勝敗で一方の勝数だけが $1$ 増えるので、直前に $3$ 勝だった側が $n$ 回目に勝って $4$ 勝になる場合しかない。

$p=\dfrac12$ のときは、式を直接比較するよりも、隣り合う項の比を取ると単調性がすぐ分かる。

答え

**(1)**

$$ x_n= \begin{cases} 0 & (n<8),\\ {}_{n-1}C_3\left\{p^4(1-p)^{n-4}+(1-p)^4p^{n-4}\right\} & (n\geqq 8) \end{cases}

$$

**(2)**

$$ n=8

$$