解説

方針・初手

点 $P$ が頂点 $A$ にいる確率だけを追う。正三角形の対称性により、$A$ にいないとき、$B$ と $C$ にいる確率は等しいと考えられる。

したがって、$n$ 分後に $A$ にいる確率を $p_n$ とすれば、$B,C$ にいる確率の和は $1-p_n$ である。次に $A$ にいる場合を、「$A$ にいてそのまま留まる場合」と「$B$ または $C$ から $A$ に移る場合」に分けて考える。

解法1

まず、$p_0=1$ である。

$1$ 分後に $A$ にいるには、最初 $A$ にいてそのまま留まればよい。留まる確率は $\dfrac{2}{3}$ なので、

$$ p_1=\frac{2}{3}

$$

である。

次に $p_2$ を求める。$1$ 分後に $A$ にいる確率は $p_1=\dfrac{2}{3}$ であり、$A$ にいない確率は

$$ 1-p_1=1-\frac{2}{3}=\frac{1}{3}

$$

である。

$2$ 分後に $A$ にいる場合は、$1$ 分後に $A$ にいて留まる場合と、$1$ 分後に $B$ または $C$ にいて $A$ に移動する場合である。よって、

$$ \begin{aligned} p_2 &= \frac{2}{3}p_1+\frac{1}{6}(1-p_1) \end{aligned} $$

である。これに $p_1=\dfrac{2}{3}$ を代入すると、

$$ \begin{aligned} p_2 &= \frac{2}{3}\cdot\frac{2}{3} + \frac{1}{6}\cdot\frac{1}{3} &= \frac{4}{9}+\frac{1}{18} \\ \frac{1}{2} \end{aligned} $$

となる。

一般に、$n$ 分後に $A$ にいる確率は $p_n$ であり、$A$ にいない確率は $1-p_n$ である。

$n+1$ 分後に $A$ にいる確率は、

$$ \begin{aligned} p_{n+1} &= \frac{2}{3}p_n+\frac{1}{6}(1-p_n) \end{aligned} $$

である。これを整理すると、

$$ \begin{aligned} p_{n+1} &= \frac{2}{3}p_n+\frac{1}{6}-\frac{1}{6}p_n \\ &= \frac{1}{2}p_n+\frac{1}{6} \end{aligned}

$$

となる。

したがって、

$$ p_{n+1}=\frac{1}{2}p_n+\frac{1}{6}

$$

である。

次に、この漸化式を解く。定数項を消すため、極限値にあたる定数 $\alpha$ を考える。

$$ \alpha=\frac{1}{2}\alpha+\frac{1}{6}

$$

を解くと、

$$ \alpha=\frac{1}{3}

$$

である。そこで、漸化式から $\dfrac{1}{3}$ を引くと、

$$ \begin{aligned} p_{n+1}-\frac{1}{3} &= \frac{1}{2}\left(p_n-\frac{1}{3}\right) \end{aligned} $$

となる。

よって、数列 $p_n-\dfrac{1}{3}$ は公比 $\dfrac{1}{2}$ の等比数列である。初項は

$$ \begin{aligned} p_0-\frac{1}{3} &= 1-\frac{1}{3} \\ \frac{2}{3} \end{aligned} $$

であるから、

$$ \begin{aligned} p_n-\frac{1}{3} &= \frac{2}{3}\left(\frac{1}{2}\right)^n \end{aligned} $$

となる。

したがって、

$$ \begin{aligned} p_n &= \frac{1}{3} + \frac{2}{3}\left(\frac{1}{2}\right)^n \end{aligned} $$

である。

解説

この問題では、頂点 $B$ と $C$ を個別に追う必要はない。正三角形の対称性により、$A$ 以外にいる確率をまとめて $1-p_n$ とすれば、$A$ に戻る確率はそのうち $\dfrac{1}{6}$ 倍で処理できる。

重要なのは、$A$ にいる確率だけで次の $A$ にいる確率が決まる形にすることである。これにより、確率の問題が一次漸化式

$$ p_{n+1}=\frac{1}{2}p_n+\frac{1}{6}

$$

に帰着する。

定数項つき漸化式は、固定値 $\dfrac{1}{3}$ を引いて等比数列に直すのが典型処理である。

答え

**(1)**

$$ p_1=\frac{2}{3},\qquad p_2=\frac{1}{2}

$$

したがって、

$$ [ア]=\frac{2}{3},\qquad [イ]=\frac{1}{2}

$$

である。

**(2)**

$$ p_{n+1}=\frac{1}{2}p_n+\frac{1}{6}

$$

したがって、

$$ [ウ]=\frac{1}{2}p_n+\frac{1}{6}

$$

である。

**(3)**

$$ \begin{aligned} p_n &= \frac{1}{3} + \frac{2}{3}\left(\frac{1}{2}\right)^n \end{aligned} $$

したがって、

$$ [エ]=\frac{1}{3} + \frac{2}{3}\left(\frac{1}{2}\right)^n

$$

である。