基礎問題集
数学A 確率「数列･確率(数B)」の問題13 解説
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解説
方針・初手
点 $A$ は正の向きに $1$ または $2$ だけ進むので、ある点を通り過ぎると二度と戻らない。
したがって、座標 $n+1$ に立ち寄る場合は、次の2通りに分けられる。
- 座標 $n$ に立ち寄り、そこから $1$ 進む。
- 座標 $n$ に立ち寄らず、座標 $n-1$ から $2$ 進んで座標 $n+1$ に着く。
この「座標 $n$ を踏むか、飛び越すか」に注目すると、$p_{n+1}$ を $p_n$ だけで表せる。
解法1
まず、点 $A$ は原点から出発する。座標 $0$ にいるとき、$1$ 進む確率は
$$ \frac{1}{0+1}=1
$$
であるから、必ず座標 $1$ に立ち寄る。よって
$$ p_1=1
$$
である。
(1) $p_2$ を求める
座標 $2$ に立ち寄るには、座標 $1$ から $1$ 進めばよい。
座標 $1$ にいるとき、$1$ 進む確率は
$$ \frac{1}{1+1}=\frac{1}{2}
$$
である。したがって
$$ p_2=p_1\cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{2}
$$
である。
(2) $p_{n+1}$ を $p_n$ で表す
座標 $n+1$ に立ち寄る確率を考える。
座標 $n$ に立ち寄った場合、そこから座標 $n+1$ に進む確率は
$$ \frac{1}{n+1}
$$
である。よって、この場合の確率は
$$ p_n\cdot \frac{1}{n+1}
$$
である。
一方、座標 $n$ に立ち寄らなかった場合を考える。点 $A$ は $1$ または $2$ だけ正の向きに進むので、座標 $n$ に立ち寄らずに通過するには、座標 $n-1$ から $2$ 進んで座標 $n+1$ に着くしかない。
したがって、座標 $n$ に立ち寄らなかった場合には、必ず座標 $n+1$ に立ち寄る。この確率は
$$ 1-p_n
$$
である。
以上より
$$ p_{n+1}=p_n\cdot \frac{1}{n+1}+(1-p_n)
$$
である。整理して
$$ p_{n+1}=1-\frac{n}{n+1}p_n
$$
を得る。
(3) $p_n$ を求める
(2)より、$n\geqq 1$ に対して
$$ p_{n+1}=1-\frac{n}{n+1}p_n
$$
である。
両辺に $n+1$ をかけると
$$ (n+1)p_{n+1}=n+1-np_n
$$
となる。ここで
$$ a_n=np_n
$$
とおくと、
$$ a_{n+1}=n+1-a_n
$$
となる。すなわち
$$ a_{n+1}+a_n=n+1
$$
である。
この漸化式を解く。$a_n$ の一次式部分を求めるために
$$ a_n=\alpha n+\beta
$$
とおくと、
$$ \alpha(n+1)+\beta+n\alpha+\beta=n+1
$$
より、
$$ 2\alpha n+\alpha+2\beta=n+1
$$
である。係数を比較して
$$ \alpha=\frac{1}{2},\qquad \beta=\frac{1}{4}
$$
となる。
したがって、一般形は
$$ a_n=\frac{n}{2}+\frac{1}{4}+C(-1)^n
$$
である。
また
$$ a_1=1\cdot p_1=1
$$
であるから、
$$ 1=\frac{1}{2}+\frac{1}{4}-C
$$
より
$$ C=-\frac{1}{4}
$$
である。
したがって
$$ a_n=\frac{n}{2}+\frac{1}{4}-\frac{1}{4}(-1)^n
$$
であり、
$$ np_n=\frac{2n+1-(-1)^n}{4}
$$
となる。よって、$n\geqq 1$ について
$$ p_n=\frac{2n+1-(-1)^n}{4n}
$$
である。
偶奇で分けて書くと、
$$ p_n= \begin{cases} \dfrac{1}{2} & (n\text{ が偶数}),\\[6pt] \dfrac{n+1}{2n} & (n\text{ が奇数}) \end{cases}
$$
である。
解説
この問題の要点は、座標 $n$ に立ち寄らなかった場合をどう扱うかである。
点 $A$ は $1$ または $2$ だけ進むため、座標 $n$ を踏まずに通過するなら、必ず座標 $n-1$ から座標 $n+1$ へ飛ぶ。そのため「座標 $n$ に立ち寄らない確率」そのものが、座標 $n+1$ に立ち寄る確率の一部になる。
この観察により、$p_{n+1}$ を $p_n$ のみで表せる。あとは $np_n$ とおくことで、交代的な一次漸化式に帰着できる。
答え
**(1)**
$$ p_2=\frac{1}{2}
$$
**(2)**
$$ p_{n+1}=1-\frac{n}{n+1}p_n
$$
**(3)**
$n\geqq 1$ について
$$ p_n=\frac{2n+1-(-1)^n}{4n}
$$
すなわち
$$ p_n= \begin{cases} \dfrac{1}{2} & (n\text{ が偶数}),\\[6pt] \dfrac{n+1}{2n} & (n\text{ が奇数}) \end{cases}
$$