基礎問題集
数学A 確率「数列･確率(数B)」の問題25 解説
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解説
方針・初手
表を $H$、裏を $T$ と表す。
ちょうど $n$ 回目で終了するとは、$n-1$ 回目と $n$ 回目が連続して $H$ であり、それ以前には $HH$ が一度も現れていないということである。
したがって、各 $n$ について「初めて $HH$ が出る列」を数え、その本数を $2^n$ で割ればよい。
解法1
**(1)**
$P_2$ を求める。
2回目で終了するには、最初の2回がともに表であればよい。すなわち列は
$$ HH
$$
のみである。
よって
$$ P_2=\frac{1}{2^2}=\frac{1}{4}
$$
である。
**(2)**
$P_3$ を求める。
3回目で初めて $HH$ が出るには、2回目と3回目が $H,H$ であり、1回目と2回目が $H,H$ であってはならない。
したがって、1回目は $T$ でなければならない。列は
$$ THH
$$
のみである。
よって
$$ P_3=\frac{1}{2^3}=\frac{1}{8}
$$
である。
**(3)**
$P_4$ を求める。
4回目で初めて $HH$ が出るには、3回目と4回目が $H,H$ である。
また、2回目と3回目が $H,H$ になっていると3回目で終了してしまうので、2回目は $T$ でなければならない。
したがって列の形は
$$ _THH
$$
である。ただし、1回目は $H,T$ のどちらでもよい。実際に可能な列は
$$ HTHH,\quad TTHH
$$
の2通りである。
よって
$$ P_4=\frac{2}{2^4}=\frac{1}{8}
$$
である。
**(4)**
$P_5<\dfrac{1}{2}$ を示す。
5回目で初めて $HH$ が出るには、4回目と5回目が $H,H$ である。
また、3回目と4回目が $H,H$ になっていると4回目で終了してしまうので、3回目は $T$ でなければならない。
したがって列の形は
$$ __THH
$$
である。
さらに、1回目と2回目で $HH$ が出ていてはいけない。よって、最初の2回として可能なのは
$$ TT,\quad TH,\quad HT
$$
の3通りである。
したがって、5回目で終了する列は
$$ TTTHH,\quad THTHH,\quad HTTHH
$$
の3通りである。
よって
$$ P_5=\frac{3}{2^5}=\frac{3}{32}
$$
である。
ここで
$$ \frac{3}{32}<\frac{16}{32}=\frac{1}{2}
$$
だから、
$$ P_5<\frac{1}{2}
$$
が示された。
解説
この問題では、「$n$ 回目で $HH$ が出る」だけでなく、「それ以前には $HH$ が出ていない」という条件を忘れないことが重要である。
たとえば $P_4$ では、最後が $HH$ であればよいだけなら
$$ HHHH,\quad HTHH,\quad THHH,\quad TTHH
$$
なども候補に見えるが、$HHHH$ は2回目で終了し、$THHH$ は3回目で終了する。したがって、初めて終了する時点を考える必要がある。
小さい $n$ では、実際に列を書き出す方法が最も確実である。
答え
**(1)**
$$ P_2=\frac{1}{4}
$$
**(2)**
$$ P_3=\frac{1}{8}
$$
**(3)**
$$ P_4=\frac{1}{8}
$$
**(4)**
$$ P_5=\frac{3}{32}<\frac{1}{2}
$$