解説

方針・初手

$P_{i,n}$ は「$n$ 回目の試行の前に赤玉が $i$ 個あり、かつその試行で赤玉を取り出す確率」である。したがって、単に「赤玉が $i$ 個ある確率」ではない点に注意する。

そこで、まず「赤玉が $i$ 個ある状態」から次の状態へどう移るかを考え、そのうえで $P_{i,n}$ の漸化式に直す。

解法1

$n$ 回目の試行の前に袋の中に赤玉が $i$ 個あるとする。

このとき、袋の中の玉の総数は常に $N+3$ 個である。赤玉を取り出せば赤玉は $1$ 個減り、白玉を取り出せば赤玉の個数は変わらない。

$P_{i,n}$ は「赤玉が $i$ 個ある状態で、赤玉を取り出す確率」まで含んだ値である。つまり、$n$ 回目の試行の前に赤玉が $i$ 個ある確率を $Q_{i,n}$ とおくと、

$$ P_{i,n}=\frac{i}{N+3}Q_{i,n}

$$

である。

(1) 漸化式

まず $P_{1,n+1}$ を求める。

$n+1$ 回目の試行の前に赤玉が $1$ 個あるのは、次の2通りである。

**(i)**

$n$ 回目の前に赤玉が $1$ 個あり、白玉を取り出す。

**(ii)**

$n$ 回目の前に赤玉が $2$ 個あり、赤玉を取り出す。

したがって

$$ Q_{1,n+1}=\frac{N+2}{N+3}Q_{1,n}+\frac{2}{N+3}Q_{2,n}

$$

である。両辺に $\dfrac{1}{N+3}$ をかけると、

$$ \begin{aligned} P_{1,n+1} &= \frac{N+2}{N+3}P_{1,n} + \frac{1}{N+3}P_{2,n} \end{aligned} $$

となる。

次に $P_{2,n+1}$ を求める。

$n+1$ 回目の試行の前に赤玉が $2$ 個あるのは、次の2通りである。

**(i)**

$n$ 回目の前に赤玉が $2$ 個あり、白玉を取り出す。

**(ii)**

$n$ 回目の前に赤玉が $3$ 個あり、赤玉を取り出す。

よって

$$ \begin{aligned} Q_{2,n+1} &= \frac{N+1}{N+3}Q_{2,n} + \frac{3}{N+3}Q_{3,n} \end{aligned} $$

である。両辺に $\dfrac{2}{N+3}$ をかけると、

$$ \begin{aligned} P_{2,n+1} &= \frac{N+1}{N+3}P_{2,n} + \frac{2}{N+3}P_{3,n} \end{aligned} $$

となる。

最後に $P_{3,n+1}$ を求める。

$n+1$ 回目の試行の前に赤玉が $3$ 個あるためには、$n$ 回目の前にも赤玉が $3$ 個あり、白玉を取り出すしかない。よって

$$ \begin{aligned} Q_{3,n+1} &= \frac{N}{N+3}Q_{3,n} \end{aligned} $$

である。両辺に $\dfrac{3}{N+3}$ をかけると、

$$ \begin{aligned} P_{3,n+1} &= \frac{N}{N+3}P_{3,n} \end{aligned} $$

となる。

したがって、求める漸化式は

$$ \begin{aligned} P_{1,n+1} &= \frac{N+2}{N+3}P_{1,n} + \frac{1}{N+3}P_{2,n},\\ P_{2,n+1} &= \frac{N+1}{N+3}P_{2,n} + \frac{2}{N+3}P_{3,n},\\ P_{3,n+1} &= \frac{N}{N+3}P_{3,n} \end{aligned}

$$

である。

(2) $P_n$ を求める

問題文より

$$ P_n=P_{1,n}+P_{2,n}+P_{3,n}

$$

である。

(1) の3式を加えると、

$$ \begin{aligned} P_{n+1} &= P_{1,n+1}+P_{2,n+1}+P_{3,n+1}\\ &= \left(\frac{N+2}{N+3}P_{1,n} + \frac{1}{N+3}P_{2,n}\right) + \left(\frac{N+1}{N+3}P_{2,n} + \frac{2}{N+3}P_{3,n}\right) + \frac{N}{N+3}P_{3,n}\\ &= \frac{N+2}{N+3}P_{1,n} + \frac{N+2}{N+3}P_{2,n} + \frac{N+2}{N+3}P_{3,n}\\ &= \frac{N+2}{N+3}P_n \end{aligned}

$$

となる。

初め、袋の中には赤玉が $3$ 個あるので、1回目の試行で赤玉を取り出す確率は

$$ P_1=\frac{3}{N+3}

$$

である。

したがって、数列 ${P_n}$ は公比 $\dfrac{N+2}{N+3}$ の等比数列であり、

$$ \begin{aligned} P_n &= P_1\left(\frac{N+2}{N+3}\right)^{n-1} \\ \frac{3}{N+3}\left(\frac{N+2}{N+3}\right)^{n-1} \end{aligned} $$

である。

解説

この問題では、$P_{i,n}$ の意味を正確に読むことが重要である。

$P_{i,n}$ は「赤玉が $i$ 個ある確率」ではなく、「赤玉が $i$ 個ある状態で、さらに赤玉を取り出す確率」まで含んでいる。そのため、状態の確率を一度 $Q_{i,n}$ とおいて整理すると、係数のずれを避けやすい。

特に、$P_{1,n+1}$ の式で $P_{2,n}$ の係数が $\dfrac{2}{N+3}$ ではなく $\dfrac{1}{N+3}$ になる点に注意する。これは $P_{2,n}$ 自体がすでに「赤玉を取り出す確率」を含んでいるためである。

答え

**(1)**

$$ \begin{aligned} P_{1,n+1} &= \frac{N+2}{N+3}P_{1,n} + \frac{1}{N+3}P_{2,n},\\ P_{2,n+1} &= \frac{N+1}{N+3}P_{2,n} + \frac{2}{N+3}P_{3,n},\\ P_{3,n+1} &= \frac{N}{N+3}P_{3,n} \end{aligned}

$$

**(2)**

$$ P_{n+1}=\frac{N+2}{N+3}P_n

$$

また、

$$ \begin{aligned} P_n &= \frac{3}{N+3}\left(\frac{N+2}{N+3}\right)^{n-1} \end{aligned} $$