解説

方針・初手

和 $\sum_{k=1}^{n} a_k$ の偶奇だけに注目する。偶数のカードは $2,4$ の $2$ 枚、奇数のカードは $1,3,5$ の $3$ 枚である。

偶数を引くと和の偶奇は変わらず、奇数を引くと和の偶奇が反転する。この性質から漸化式を作る。

解法1

まず $1$ 回だけ引くとき、和が偶数になるのは偶数のカードを引く場合である。よって

$$ p_1=\frac{2}{5}

$$

である。

次に $2$ 回引くとき、和が偶数になるのは、2枚のカードの偶奇が同じ場合である。すなわち、両方とも奇数、または両方とも偶数である。

したがって

$$ p_2=\left(\frac{3}{5}\right)^2+\left(\frac{2}{5}\right)^2 =\frac{9}{25}+\frac{4}{25} =\frac{13}{25}

$$

である。

次に、$n$ 回目までの和が偶数である確率を $p_n$ とする。$n+1$ 回目までの和が偶数になるのは、次の2通りである。

**(i)**

$n$ 回目までの和が偶数で、$n+1$ 回目に偶数のカードを引く。

**(ii)**

$n$ 回目までの和が奇数で、$n+1$ 回目に奇数のカードを引く。

よって

$$ p_{n+1}=p_n\cdot \frac{2}{5}+(1-p_n)\cdot \frac{3}{5}

$$

である。これを整理すると

$$ p_{n+1} =\frac{2}{5}p_n+\frac{3}{5}-\frac{3}{5}p_n =\frac{3}{5}-\frac{1}{5}p_n

$$

となる。

この漸化式を解く。定数解を $p$ とおくと

$$ p=\frac{3}{5}-\frac{1}{5}p

$$

より

$$ \frac{6}{5}p=\frac{3}{5}

$$

したがって

$$ p=\frac{1}{2}

$$

である。

そこで、漸化式から $\frac{1}{2}$ を引くと

$$ \begin{aligned} p_{n+1}-\frac{1}{2} &= -\frac{1}{5}\left(p_n-\frac{1}{2}\right) \end{aligned} $$

となる。よって数列 $p_n-\frac{1}{2}$ は公比 $-\frac{1}{5}$ の等比数列である。

また

$$ \begin{aligned} p_1-\frac{1}{2} &= \frac{2}{5}-\frac{1}{2} \\ -\frac{1}{10} \end{aligned} $$

であるから、

$$ \begin{aligned} p_n-\frac{1}{2} &= -\frac{1}{10}\left(-\frac{1}{5}\right)^{n-1} \end{aligned} $$

である。したがって

$$ \begin{aligned} p_n &= \frac{1}{2} -\frac{1}{10}\left(-\frac{1}{5}\right)^{n-1} \end{aligned} $$

となる。

これは次のようにも書ける。

$$ \begin{aligned} p_n &= \frac{1}{2}\left\{1+\left(-\frac{1}{5}\right)^n\right\} \end{aligned} $$

解法2

全事象は $5^n$ 通りである。和が偶数となる列の数を $E_n$、和が奇数となる列の数を $O_n$ とおく。

明らかに

$$ E_n+O_n=5^n

$$

である。

また、偶数のカードは $2$ 枚、奇数のカードは $3$ 枚である。各回について、偶数カードを $+1$、奇数カードを $-1$ と重みづけして考えると、$n$ 回の選び方全体に対して

$$ E_n-O_n=(2-3)^n=(-1)^n

$$

が成り立つ。

したがって

$$ E_n=\frac{5^n+(-1)^n}{2}

$$

である。よって

$$ \begin{aligned} p_n=\frac{E_n}{5^n} &= \frac{5^n+(-1)^n}{2\cdot 5^n} \\ \frac{1}{2}\left\{1+\left(-\frac{1}{5}\right)^n\right\} \end{aligned} $$

である。

解説

偶奇だけを追えばよい問題である。実際の数字の大きさは不要で、必要なのは「偶数カードが $2$ 枚、奇数カードが $3$ 枚」という情報だけである。

漸化式を立てるときは、次の1枚で偶奇が「変わるか、変わらないか」を見る。偶数を引くと偶奇は変わらず、奇数を引くと反転するため、

$$ p_{n+1}=\frac{2}{5}p_n+\frac{3}{5}(1-p_n)

$$

となる。

別解では、和が偶数の列と奇数の列の差を重みづけで求めている。これは偶奇を扱う典型的な方法であり、場合分けを繰り返さずに一気に $p_n$ を求められる。

答え

**(1)**

$$ p_1=\frac{2}{5},\qquad p_2=\frac{13}{25}

$$

**(2)**

$$ p_{n+1}=\frac{3}{5}-\frac{1}{5}p_n

$$

**(3)**

$$ p_n=\frac{1}{2}\left\{1+\left(-\frac{1}{5}\right)^n\right\}

$$