解説

方針・初手

2枚の硬貨の状態を、表の枚数によって分類する。両方表、表裏1枚ずつ、両方裏の3状態だけを追えばよい。

操作後の確率を漸化式で表し、求めたい「両方裏」の確率だけを取り出す。

解法1

$n$回操作後に、2枚の硬貨の状態がそれぞれ

• 両方表である確率を $a_n$
• 表と裏が1枚ずつである確率を $b_n$
• 両方裏である確率を $c_n$

とする。

最初は2枚とも表なので、

$$ a_0=1,\qquad b_0=0,\qquad c_0=0

$$

である。

各状態から次の状態への移り方を考える。

両方表のときは2枚とも投げるので、次に両方表、表裏1枚ずつ、両方裏となる確率はそれぞれ

$$ \frac14,\quad \frac12,\quad \frac14

$$

である。

両方裏のときも2枚とも投げるので、同じく

$$ \frac14,\quad \frac12,\quad \frac14

$$

である。

表と裏が1枚ずつのときは、表になっている硬貨だけを投げる。したがって、表が出れば表裏1枚ずつのままであり、裏が出れば両方裏になる。よって、次に表裏1枚ずつ、両方裏となる確率はそれぞれ

$$ \frac12,\quad \frac12

$$

である。

したがって、漸化式は

$$ \begin{aligned} a_{n+1}&=\frac14a_n+\frac14c_n,\\ b_{n+1}&=\frac12a_n+\frac12b_n+\frac12c_n,\\ c_{n+1}&=\frac14a_n+\frac12b_n+\frac14c_n \end{aligned}

$$

となる。

ここで常に

$$ a_n+b_n+c_n=1

$$

であるから、

$$ b_{n+1} =\frac12(a_n+b_n+c_n) =\frac12

$$

である。よって、$n\geqq 1$ では

$$ b_n=\frac12

$$

が成り立つ。

したがって、$n\geqq 1$ では

$$ a_n+c_n=1-b_n=\frac12

$$

である。

これを $c_{n+1}$ の式に代入すると、$n\geqq 1$ に対して

$$ \begin{aligned} c_{n+1} &=\frac14(a_n+c_n)+\frac12b_n\\ &=\frac14\cdot\frac12+\frac12\cdot\frac12\\ &=\frac18+\frac14\\ &=\frac38 \end{aligned}

$$

となる。

よって、$n\geqq 2$ では

$$ c_n=\frac38

$$

である。

一方、$n=1$ のときは、最初の状態が両方表であり、2枚とも投げるので、2枚とも裏になる確率は

$$ c_1=\frac14

$$

である。

解説

この問題は、2枚の硬貨を区別して考えるよりも、「表が2枚」「表が1枚」「表が0枚」という状態でまとめると見通しがよい。

重要なのは、1回操作した後は「表裏1枚ずつ」の確率が必ず $\frac12$ になることである。そのため、2回目以降は確率分布が固定され、「両方裏」の確率も $\frac38$ で一定になる。

答え

$n$ を正の整数とすると、求める確率は

$$ \begin{cases} \dfrac14 & (n=1),\\[6pt] \dfrac38 & (n\geqq 2) \end{cases}

$$