基礎問題集
数学A 確率「数列･確率(数B)」の問題33 解説
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解説
方針・初手
時刻 $n+1$ に部屋 A にいる確率 $a_{n+1}$ は、時刻 $n$ に A にいてそのまま A に残る場合と、時刻 $n$ に B にいて A に移る場合の和で表す。
また、常にどちらか一方の部屋にいるので $a_n+b_n=1$ を用いて、$a_n$ だけの漸化式に直す。
解法1
時刻 $n+1$ に部屋 A にいるのは、次の2通りである。
時刻 $n$ に部屋 A にいて、確率 $\dfrac{9}{10}$ で部屋 A にとどまる。
時刻 $n$ に部屋 B にいて、確率 $\dfrac{1}{15}$ で部屋 A に移る。
したがって、
$$ a_{n+1}=\frac{9}{10}a_n+\frac{1}{15}b_n
$$
である。
また、各時刻で部屋 A, B のどちらかにいるから、
$$ a_n+b_n=1
$$
より、
$$ b_n=1-a_n
$$
である。これを代入すると、
$$ \begin{aligned} a_{n+1} &=\frac{9}{10}a_n+\frac{1}{15}(1-a_n)\\ &=\left(\frac{9}{10}-\frac{1}{15}\right)a_n+\frac{1}{15}\\ &=\frac{5}{6}a_n+\frac{1}{15} \end{aligned}
$$
となる。
よって、
$$ a_{n+1}=\frac{5}{6}a_n+\frac{1}{15}
$$
である。
この漸化式の定数解を $\alpha$ とおくと、
$$ \alpha=\frac{5}{6}\alpha+\frac{1}{15}
$$
より、
$$ \frac{1}{6}\alpha=\frac{1}{15}
$$
したがって、
$$ \alpha=\frac{2}{5}
$$
である。
そこで、漸化式から定数解を引くと、
$$ \begin{aligned} a_{n+1}-\frac{2}{5} &= \frac{5}{6}\left(a_n-\frac{2}{5}\right) \end{aligned} $$
となる。
初期条件 $a_0=1$ より、
$$ a_0-\frac{2}{5}=\frac{3}{5}
$$
であるから、
$$ \begin{aligned} a_n-\frac{2}{5} &= \frac{3}{5}\left(\frac{5}{6}\right)^n \end{aligned} $$
したがって、
$$ a_n=\frac{2}{5}+\frac{3}{5}\left(\frac{5}{6}\right)^n
$$
である。
次に、$a_n<b_n$ となる条件を求める。$b_n=1-a_n$ であるから、
$$ a_n<b_n
$$
は、
$$ a_n<\frac{1}{2}
$$
と同値である。
一般項を代入すると、
$$ \frac{2}{5}+\frac{3}{5}\left(\frac{5}{6}\right)^n<\frac{1}{2}
$$
である。これを整理すると、
$$ \frac{3}{5}\left(\frac{5}{6}\right)^n<\frac{1}{10}
$$
すなわち、
$$ \left(\frac{5}{6}\right)^n<\frac{1}{6}
$$
である。
両辺の常用対数をとると、
$$ n\log_{10}\frac{5}{6}<\log_{10}\frac{1}{6}
$$
である。
与えられた近似値を用いると、
$$ \begin{aligned} \log_{10}\frac{5}{6} &= \log_{10}5-\log_{10}6 \\ 0.70-(0.30+0.48) \\ -0.08 \end{aligned} $$
また、
$$ \begin{aligned} \log_{10}\frac{1}{6} &= -\log_{10}6 \\ -(0.30+0.48) \\ -0.78 \end{aligned} $$
である。
したがって、
$$ -0.08n<-0.78
$$
より、
$$ n>9.75
$$
となる。よって、最小の自然数 $n$ は
$$ n=10
$$
である。
解説
この問題の中心は、2状態の確率推移を漸化式にすることである。
直接 $a_n,b_n$ の2本の漸化式を扱うこともできるが、常に $a_n+b_n=1$ が成り立つため、$b_n=1-a_n$ として $a_n$ だけの1次漸化式に直すのが最も簡単である。
得られる漸化式
$$ a_{n+1}=\frac{5}{6}a_n+\frac{1}{15}
$$
は、定数解 $\dfrac{2}{5}$ を引くことで等比数列に帰着できる。ここで定数解を使わずに反復計算だけで進めると、一般項を求める部分で計算が煩雑になりやすい。
答え
$$ \begin{aligned} a_{n+1}=\frac{9}{10}a_n+\frac{1}{15}b_n &= \frac{5}{6}a_n+\frac{1}{15} \end{aligned} $$
したがって、空欄は
$$ \boxed{\frac{9}{10}},\quad \boxed{\frac{1}{15}},\quad \boxed{\frac{5}{6}}
$$
である。
また、
$$ a_n=\frac{2}{5}+\frac{3}{5}\left(\frac{5}{6}\right)^n
$$
である。
さらに、$a_n<b_n$ となる最小の自然数 $n$ は
$$ \boxed{10}
$$
である。