解説

方針・初手

三角形の頂点は反時計回りに $A,B,C$ であるから、反時計回りの移動は

$$ A\to B,\quad B\to C,\quad C\to A

$$

である。したがって、各頂点にいる確率の推移をまず漸化式で表す。

解法1

$1$ 秒後に点 $P$ が $A$ にいるのは、直前に $B$ にいて時計回りに移動する場合、または直前に $C$ にいて反時計回りに移動する場合である。よって

$$ a_{n+1}=\frac13 b_n+\frac23 c_n

$$

である。同様に、

$$ b_{n+1}=\frac23 a_n+\frac13 c_n

$$

$$ c_{n+1}=\frac13 a_n+\frac23 b_n

$$

である。

次に $a_{n+2}$ を求める。上の漸化式より

$$ \begin{aligned} a_{n+2} &=\frac13 b_{n+1}+\frac23 c_{n+1} \\ &=\frac13\left(\frac23 a_n+\frac13 c_n\right) +\frac23\left(\frac13 a_n+\frac23 b_n\right) \\ &=\frac49 a_n+\frac49 b_n+\frac19 c_n \end{aligned}

$$

ここで常に

$$ a_n+b_n+c_n=1

$$

であるから、

$$ \begin{aligned} a_{n+2} &=\frac49(a_n+b_n)+\frac19c_n \\ &=\frac49(1-c_n)+\frac19c_n \\ &=\frac49-\frac13c_n \end{aligned}

$$

したがって

$$ a_{n+2}=\frac49-\frac13c_n

$$

である。

同様に、添字を循環させると

$$ b_{n+2}=\frac49-\frac13a_n

$$

$$ c_{n+2}=\frac49-\frac13b_n

$$

も成り立つ。

これを用いて $a_{n+6}$ を求める。

$$ a_{n+6}=\frac49-\frac13c_{n+4}

$$

また、

$$ c_{n+4}=\frac49-\frac13b_{n+2}

$$

であり、

$$ b_{n+2}=\frac49-\frac13a_n

$$

であるから、

$$ \begin{aligned} a_{n+6} &=\frac49-\frac13\left\{\frac49-\frac13\left(\frac49-\frac13a_n\right)\right\} \\ &=\frac49-\frac13\left(\frac49-\frac4{27}+\frac19a_n\right) \\ &=\frac49-\frac13\left(\frac8{27}+\frac19a_n\right) \\ &=\frac49-\frac8{81}-\frac1{27}a_n \\ &=\frac{28}{81}-\frac1{27}a_n \end{aligned}

$$

よって

$$ a_{n+6}=\frac{28}{81}-\frac1{27}a_n

$$

である。

最後に $a_{6k+1}$ を求める。出発時は $A$ にいるので

$$ a_0=1,\quad b_0=0,\quad c_0=0

$$

である。したがって

$$ a_1=0

$$

である。

ここで

$$ x_k=a_{6k+1}

$$

とおくと、先ほどの式より

$$ x_{k+1}=\frac{28}{81}-\frac1{27}x_k

$$

である。この漸化式の定数解を求めると、

$$ x=\frac{28}{81}-\frac1{27}x

$$

より

$$ \frac{28}{27}x=\frac{28}{81}

$$

したがって

$$ x=\frac13

$$

である。よって

$$ x_{k+1}-\frac13=-\frac1{27}\left(x_k-\frac13\right)

$$

となる。初期値は $x_0=a_1=0$ であるから、

$$ \begin{aligned} x_k-\frac13 &=\left(-\frac1{27}\right)^k\left(x_0-\frac13\right) \\ &=-\frac13\left(-\frac1{27}\right)^k \end{aligned}

$$

ゆえに

$$ x_k=\frac13-\frac13\left(-\frac1{27}\right)^k

$$

したがって

$$ a_{6k+1}=\frac13\left\{1-\left(-\frac1{27}\right)^k\right\}

$$

である。

解説

この問題では、まず「どの頂点からどの頂点へ移ると、次に $A$ にいるか」を正確に整理することが重要である。反時計回りの向きを取り違えると、最初の漸化式がすべて崩れる。

また、$a_n+b_n+c_n=1$ を使うことで、$a_{n+2}$ を $c_n$ だけで表せる。さらに、同じ形の式を $A,B,C$ で循環させると、$6$ 秒後の $a_{n+6}$ を $a_n$ のみで表せる。

最後の $a_{6k+1}$ は、$6$ 秒ごとの漸化式に直すと一次漸化式になる。定数解 $\frac13$ を基準にして差を取ると、等比数列として処理できる。

答え

**(1)**

$$ a_{n+1}=\frac13b_n+\frac23c_n

$$

$$ b_{n+1}=\frac23a_n+\frac13c_n

$$

$$ c_{n+1}=\frac13a_n+\frac23b_n

$$

**(2)**

$$ a_{n+2}=\frac49-\frac13c_n

$$

**(3)**

$$ a_{n+6}=\frac{28}{81}-\frac1{27}a_n

$$

**(4)**

$$ a_{6k+1}=\frac13\left\{1-\left(-\frac1{27}\right)^k\right\}

$$