基礎問題集
数学A 確率「数列･確率(数B)」の問題36 解説
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解説
方針・初手
$g(x)=ax^2+bx$ に対して、表と裏がそれぞれ係数 $(a,b)$ にどのような変換を与えるかを調べる。すると、硬貨の出方は係数の変化として処理できる。
硬貨の表を $H$、裏を $T$ と書くことにする。
解法1
まず、$g(x)=ax^2+bx$ とする。このとき
$$ g'(x)=2ax+b
$$
であるから、
$$ xg'(x)=2ax^2+bx
$$
となる。
また、
$$ g(t+1)-g(t) =a{(t+1)^2-t^2}+b{(t+1)-t} =2at+a+b
$$
である。よって
$$ \int_0^x {g(t+1)-g(t)},dt =\int_0^x (2at+a+b),dt =ax^2+(a+b)x
$$
となる。
したがって、係数 $(a,b)$ に対して、表 $H$ と裏 $T$ はそれぞれ
$$ H:(a,b)\mapsto (2a,b),\qquad T:(a,b)\mapsto (a,a+b)
$$
という変換である。
最初は
$$ g_0(x)=x^2
$$
なので、係数は
$$ (a,b)=(1,0)
$$
である。
(i) $n=2$ の場合
2回の出方は $HH,HT,TH,TT$ の4通りである。
**(1) $HH$ のとき**
$$ (1,0)\xrightarrow{H}(2,0)\xrightarrow{H}(4,0)
$$
より、
$$ f(x)=4x^2
$$
である。
**(2) $HT$ のとき**
$$ (1,0)\xrightarrow{H}(2,0)\xrightarrow{T}(2,2)
$$
より、
$$ f(x)=2x^2+2x
$$
である。
**(3) $TH$ のとき**
$$ (1,0)\xrightarrow{T}(1,1)\xrightarrow{H}(2,1)
$$
より、
$$ f(x)=2x^2+x
$$
である。
**(4) $TT$ のとき**
$$ (1,0)\xrightarrow{T}(1,1)\xrightarrow{T}(1,2)
$$
より、
$$ f(x)=x^2+2x
$$
である。
(ii) すべて裏が出た場合
裏 $T$ の変換は
$$ T:(a,b)\mapsto (a,a+b)
$$
である。
初期値は $(a,b)=(1,0)$ であり、裏が出るたびに $a=1$ は変わらず、$b$ だけが $1$ ずつ増える。
したがって、$n$ 回すべて裏が出たとき、
$$ (a,b)=(1,n)
$$
である。
よって
$$ f(x)=x^2+nx
$$
となる。
(iii) $n=5$ で $f(x)=8x^2+10x$ となる場合
求める最終的な係数は
$$ (a,b)=(8,10)
$$
である。
表 $H$ は $a$ を $2$ 倍し、裏 $T$ は $a$ を変えない。初めに $a=1$ なので、最終的に $a=8=2^3$ となるためには、表がちょうど3回出る必要がある。
よって、5回中の出方は、表3回、裏2回である。
次に $b$ を考える。裏 $T$ が出たときだけ
$$ (a,b)\mapsto (a,a+b)
$$
となるので、その時点の $a$ が $b$ に加えられる。
表がすでに $r$ 回出た後なら、その時点の $a$ は
$$ 2^r
$$
である。
裏は2回出るので、$b=10$ となるには、裏が出た時点で加えられる2つの値の和が $10$ になればよい。可能な値は
$$ 1,\ 2,\ 4,\ 8
$$
であり、この中から時系列に沿って2つ選んで和が $10$ になるのは
$$ 2+8=10
$$
のみである。
したがって、1回目の裏は表が1回出た後、2回目の裏は表が3回すべて出た後でなければならない。
よって出方は
$$ HTHHT
$$
である。
実際に確認すると、
$$ (1,0)\xrightarrow{H}(2,0)\xrightarrow{T}(2,2)\xrightarrow{H}(4,2)\xrightarrow{H}(8,2)\xrightarrow{T}(8,10)
$$
となり、
$$ f(x)=8x^2+10x
$$
である。
解説
この問題では、関数そのものを毎回計算するよりも、$g(x)=ax^2+bx$ の係数 $(a,b)$ の変化として見るのが有効である。
表は $a$ だけを2倍し、裏はその時点の $a$ を $b$ に加える。特に (iii) では、$x^2$ の係数から表の回数が決まり、その後 $x$ の係数から裏の位置が決まる。
答え
**(1)**
$$ xg'(x)=2ax^2+bx
$$
$$ \int_0^x {g(t+1)-g(t)},dt=ax^2+(a+b)x
$$
**(2)**
**(i)**
$$ HH:\ f(x)=4x^2
$$
$$ HT:\ f(x)=2x^2+2x
$$
$$ TH:\ f(x)=2x^2+x
$$
$$ TT:\ f(x)=x^2+2x
$$
**(2)**
**(ii)**
$$ f(x)=x^2+nx
$$
**(2)**
**(iii)**
$$ HTHHT
$$
すなわち、表、裏、表、表、裏の順である。