解説

方針・初手

袋の中の玉は常に $3$ 個である。したがって状態は「赤玉の個数」だけで決まり、赤玉の個数を $0,1,2,3$ の $4$ 状態で追えばよい。

操作 B では、赤玉を取り出せば赤玉が $1$ 個減り、白玉を取り出せば赤玉が $1$ 個増える。よって赤玉の個数の推移を確率で整理し、対称性を利用して $p_n$ だけの漸化式に落とす。

解法1

操作 A の後、袋の中は次のいずれかである。

• 表が出たとき：赤玉 $3$ 個
• 裏が出たとき：白玉 $3$ 個

したがって、操作 A の直後は、赤玉の個数が $3$ 個である確率と $0$ 個である確率がそれぞれ $\dfrac{1}{2}$ である。

操作 B を $1$ 回行うと、赤玉 $3$ 個の状態からは必ず赤玉 $2$ 個・白玉 $1$ 個の状態になる。また、白玉 $3$ 個の状態からは必ず赤玉 $1$ 個・白玉 $2$ 個の状態になる。

よって

$$ p_1=\frac{1}{2},\qquad q_1=\frac{1}{2}

$$

である。

次に、赤玉と白玉を入れ替えて考える。操作 A では、表なら赤玉 $3$ 個、裏なら白玉 $3$ 個であり、表と裏の出る確率は等しい。また操作 B は、取り出した玉と反対の色の玉を入れる操作なので、赤玉と白玉を入れ替えても規則は変わらない。

したがって、すべての自然数 $n$ に対して、赤玉 $2$ 個・白玉 $1$ 個である確率と、赤玉 $1$ 個・白玉 $2$ 個である確率は等しい。すなわち

$$ p_n=q_n

$$

である。同様に、赤玉 $3$ 個である確率と白玉 $3$ 個である確率も等しいから、

$$ a_n=b_n

$$

である。

次に、$n\geqq 2$ として、$p_n$ を $p_{n-1}$ を用いて表す。

操作 B 後に赤玉 $2$ 個・白玉 $1$ 個となるのは、直前の状態が次のどちらかのときである。

（i） 直前に赤玉 $3$ 個であり、赤玉を取り出すとき

この場合、赤玉しか入っていないので確率 $1$ で赤玉 $2$ 個・白玉 $1$ 個になる。

（ii） 直前に赤玉 $1$ 個・白玉 $2$ 個であり、白玉を取り出すとき

この場合、白玉を取り出せば赤玉を入れるので、赤玉は $1$ 個から $2$ 個に増える。白玉を取り出す確率は $\dfrac{2}{3}$ である。

よって

$$ p_n=a_{n-1}+\frac{2}{3}q_{n-1}

$$

である。

ここで、全確率より

$$ a_{n-1}+p_{n-1}+q_{n-1}+b_{n-1}=1

$$

であり、すでに示した $p_{n-1}=q_{n-1}$、$a_{n-1}=b_{n-1}$ を用いると

$$ 2a_{n-1}+2p_{n-1}=1

$$

となる。したがって

$$ a_{n-1}=\frac{1}{2}-p_{n-1}

$$

である。

これを $p_n=a_{n-1}+\dfrac{2}{3}q_{n-1}$ に代入すると、

$$ \begin{aligned} p_n &=\left(\frac{1}{2}-p_{n-1}\right)+\frac{2}{3}p_{n-1} \\ &=\frac{1}{2}-\frac{1}{3}p_{n-1} \end{aligned}

$$

である。

したがって、$n\geqq 2$ に対して

$$ p_n=\frac{1}{2}-\frac{1}{3}p_{n-1}

$$

が成り立つ。

最後に、この漸化式を解く。定数解を $\alpha$ とすると、

$$ \alpha=\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\alpha

$$

より

$$ \frac{4}{3}\alpha=\frac{1}{2}

$$

だから

$$ \alpha=\frac{3}{8}

$$

である。よって

$$ p_n-\frac{3}{8} =-\frac{1}{3}\left(p_{n-1}-\frac{3}{8}\right)

$$

となる。

また、$p_1=\dfrac{1}{2}$ であるから

$$ p_1-\frac{3}{8} =\frac{1}{2}-\frac{3}{8} =\frac{1}{8}

$$

である。したがって

$$ p_n-\frac{3}{8} =\frac{1}{8}\left(-\frac{1}{3}\right)^{n-1}

$$

となるので、

$$ p_n=\frac{3}{8}+\frac{1}{8}\left(-\frac{1}{3}\right)^{n-1}

$$

である。

解説

この問題の本質は、袋の中の玉の並びではなく「赤玉の個数」だけを状態として見ることである。玉は常に $3$ 個なので、状態は $0,1,2,3$ の $4$ 通りしかない。

さらに、赤玉と白玉の役割が完全に対称であるため、$p_n=q_n$、$a_n=b_n$ が成り立つ。この対称性を使うことで、$4$ つの確率をすべて追わずに、$p_n$ だけの一次漸化式に帰着できる。

特に、$p_n$ を求めるときに「直前のどの状態から赤玉 $2$ 個になるか」を逆向きに考えるのが重要である。

答え

**(1)**

$$ p_1=\frac{1}{2},\qquad q_1=\frac{1}{2}

$$

**(2)**

すべての自然数 $n$ に対して、

$$ p_n=q_n,\qquad a_n=b_n

$$

である。

**(3)**

$n\geqq 2$ のとき、

$$ p_n=\frac{1}{2}-\frac{1}{3}p_{n-1}

$$

である。

**(4)**

$$ p_n=\frac{3}{8}+\frac{1}{8}\left(-\frac{1}{3}\right)^{n-1}

$$