解説

方針・初手

箱の状態は、全体で赤玉2個・白玉2個が保たれるので、次の2種類だけを考えればよい。

• よい状態：箱A，Bのどちらにも赤玉・白玉が1個ずつ入っている
• 悪い状態：一方の箱に赤玉2個、他方の箱に白玉2個が入っている

よい状態である確率を $p_n$ として、1回の操作でよい状態に移る確率を調べる。

解法1

まず、よい状態から1回操作したときの変化を考える。

箱A，Bがともに赤玉1個・白玉1個を含むとする。このとき、それぞれの箱から取り出される玉の色の組は

$$ (R,R),\ (R,W),\ (W,R),\ (W,W)

$$

の4通りであり、いずれも確率 $\dfrac{1}{4}$ で起こる。

同じ色の玉を取り出した場合、交換しても各箱の中身は変わらない。したがって、よい状態のままである。

異なる色の玉を取り出した場合、例えば箱Aから赤玉、箱Bから白玉を取り出して交換すると、箱Aは白玉2個、箱Bは赤玉2個となる。したがって、悪い状態になる。

よって、よい状態からよい状態に移る確率は

$$ \frac{2}{4}=\frac{1}{2}

$$

である。

次に、悪い状態から1回操作したときの変化を考える。

例えば箱Aに赤玉2個、箱Bに白玉2個が入っているとする。このとき、箱Aからは必ず赤玉、箱Bからは必ず白玉が取り出される。これらを交換して戻すと、箱A，Bのどちらも赤玉・白玉が1個ずつ入る。

したがって、悪い状態からよい状態に移る確率は $1$ である。

以上より、$n$ 回後によい状態である確率が $p_n$ であるとき、$n+1$ 回後によい状態である確率は

$$ \begin{aligned} p_{n+1} &= \frac{1}{2}p_n+1\cdot(1-p_n) \end{aligned} $$

である。したがって

$$ p_{n+1}=1-\frac{1}{2}p_n

$$

を得る。

初めは箱A，Bのどちらにも赤玉・白玉が1個ずつ入っているので、$p_0=1$ である。よって

$$ \begin{aligned} p_1=1-\frac{1}{2}p_0 &= 1-\frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} \end{aligned} $$

である。また、

$$ \begin{aligned} p_2=1-\frac{1}{2}p_1 &= 1-\frac{1}{4} \\ \frac{3}{4} \end{aligned} $$

である。

次に、漸化式

$$ p_{n+1}=1-\frac{1}{2}p_n

$$

を解く。定数解を $p_{n+1}=p_n=\alpha$ とおくと、

$$ \alpha=1-\frac{1}{2}\alpha

$$

より

$$ \alpha=\frac{2}{3}

$$

である。

そこで、

$$ q_n=p_n-\frac{2}{3}

$$

とおくと、

$$ \begin{aligned} q_{n+1} &=p_{n+1}-\frac{2}{3} \\ &=\left(1-\frac{1}{2}p_n\right)-\frac{2}{3} \\ &=\frac{1}{3}-\frac{1}{2}p_n \\ &=-\frac{1}{2}\left(p_n-\frac{2}{3}\right) \\ &=-\frac{1}{2}q_n \end{aligned}

$$

となる。

また、

$$ \begin{aligned} q_0=p_0-\frac{2}{3} &= 1-\frac{2}{3} \\ \frac{1}{3} \end{aligned} $$

であるから、

$$ q_n=\frac{1}{3}\left(-\frac{1}{2}\right)^n

$$

である。したがって

$$ p_n=\frac{2}{3}+\frac{1}{3}\left(-\frac{1}{2}\right)^n

$$

を得る。

解説

この問題では、玉の細かい配置をすべて追う必要はない。全体の赤玉と白玉の個数は常に2個ずつであるため、各時点の状態は「両方の箱が赤白1個ずつ」か「一方が赤2個、他方が白2個」かの2種類に限られる。

よい状態からは、同じ色を取り出すか異なる色を取り出すかで結果が分かれる。一方、悪い状態からは必ずよい状態に戻る。この非対称性を正しく処理すれば、漸化式はすぐに立てられる。

漸化式は一次の非同次漸化式であるため、定数解 $\dfrac{2}{3}$ を引いて等比数列に直すのが標準的である。

答え

**(1)**

$$ p_1=\frac{1}{2},\qquad p_2=\frac{3}{4}

$$

**(2)**

$$ p_{n+1}=1-\frac{1}{2}p_n

$$

**(3)**

$$ p_n=\frac{2}{3}+\frac{1}{3}\left(-\frac{1}{2}\right)^n

$$