解説

方針・初手

7進法での3けたの数を $\overline{abc}*7$ とおく。11進法では数字の順序が反対になるので、同じ数は $\overline{cba}*{11}$ と表される。

この2つが同じ整数を表すことを、10進法に直して方程式にする。

解法1

7進法で

$$ \overline{abc}_7=49a+7b+c

$$

である。ただし、7進法で3けたなので

$$ 1\leq a\leq 6,\qquad 0\leq b\leq 6,\qquad 0\leq c\leq 6

$$

である。

11進法では数字の順序が反対で、やはり3けたであるから

$$ \overline{cba}_{11}=121c+11b+a

$$

である。このとき、11進法でも3けたなので $c\neq 0$ であり、

$$ 1\leq c\leq 6

$$

である。

同じ整数を表すから、

$$ 49a+7b+c=121c+11b+a

$$

となる。整理すると、

$$ 48a-4b-120c=0

$$

であり、両辺を $4$ で割って

$$ 12a-b-30c=0

$$

となる。したがって

$$ b=12a-30c

$$

である。

ここで $0\leq b\leq 6$ より、

$$ 0\leq 12a-30c\leq 6

$$

である。両辺を $6$ で割ると、

$$ 0\leq 2a-5c\leq 1

$$

となる。よって整数 $2a-5c$ は $0$ または $1$ である。

**(i)**

$2a-5c=0$ のとき

$$ 2a=5c

$$

である。$1\leq a\leq 6,\ 1\leq c\leq 6$ を満たす組を考えると、$c=2$ のとき $a=5$ となる。

このとき

$$ b=12\cdot 5-30\cdot 2=0

$$

である。したがって

$$ \overline{abc}_7=\overline{502}_7

$$

であり、10進法では

$$ 5\cdot 49+0\cdot 7+2=247

$$

である。

**(ii)**

$2a-5c=1$ のとき

$$ 2a=5c+1

$$

である。$1\leq a\leq 6,\ 1\leq c\leq 6$ を満たす組を考えると、$c=1$ のとき $a=3$ となる。

このとき

$$ b=12\cdot 3-30\cdot 1=6

$$

である。したがって

$$ \overline{abc}_7=\overline{361}_7

$$

であり、10進法では

$$ 3\cdot 49+6\cdot 7+1=190

$$

である。

よって、条件を満たす整数は

$$ 190,\ 247

$$

である。

解説

基数が異なる数の問題では、まず各進法の表示を10進法の式に直すのが基本である。

この問題では、7進法で $\overline{abc}*7$ とおけば、11進法では順序が反対なので $\overline{cba}*{11}$ となる。ここで $a,b,c$ は7進法の数字であるため、$0$ から $6$ までしか使えない。この制限を忘れると、余分な解を含めてしまう。

特に、両方とも3けたであることから、先頭の数字である $a$ と $c$ は $0$ ではない。この条件も必要である。

答え

$$ 190,\ 247

$$