解説

方針・初手

8 で割った余りを求めるので、合同式を用いて $m^{m-1}$ を $8$ を法として考える。

$m$ が偶数のときは $2$ の因数を何個もつかに注目する。特に $m=2$ の場合だけ指数が $1$ になるため、別に扱う必要がある。

$m$ が奇数のときは、任意の奇数 $a$ について $a^2 \equiv 1 \pmod{8}$ が成り立つことを用いる。

解法1

偶数の場合

$m$ が偶数であるから、$m=2k$ とおける。

まず $m=2$ のとき、

$$ m^{m-1}+1=2^{1}+1=3

$$

であるから、$8$ で割った余りは $3$ である。

次に $m \geqq 4$ の偶数とする。このとき $m-1 \geqq 3$ である。また $m$ は偶数なので、$m^{m-1}$ は少なくとも $2^{m-1}$ を因数にもつ。

$m-1 \geqq 3$ より、$2^{m-1}$ は $8$ の倍数である。したがって

$$ m^{m-1} \equiv 0 \pmod{8}

$$

となる。

よって

$$ m^{m-1}+1 \equiv 1 \pmod{8}

$$

である。

したがって、$m$ が偶数のときの余りは

$$ \begin{cases} 3 & (m=2),\\ 1 & (m\geqq 4) \end{cases}

$$

である。

奇数の場合

$m$ が奇数であるとする。

任意の奇数 $m$ は $m=2k+1$ と書ける。このとき

$$ m^2=(2k+1)^2=4k(k+1)+1

$$

である。

連続する整数 $k,k+1$ の一方は偶数なので、$k(k+1)$ は偶数である。よって $4k(k+1)$ は $8$ の倍数である。

したがって

$$ m^2 \equiv 1 \pmod{8}

$$

が成り立つ。

$m$ が奇数なので、$m-1$ は偶数である。したがって

$$ m^{m-1}=\left(m^2\right)^{\frac{m-1}{2}}

$$

と書ける。

よって

$$ m^{m-1} \equiv 1^{\frac{m-1}{2}} \equiv 1 \pmod{8}

$$

である。

したがって

$$ m^{m-1}+1 \equiv 2 \pmod{8}

$$

となる。

なお、$m=1$ のときも

$$ 1^{1-1}+1=1^0+1=2

$$

であり、同じ結果になる。

解説

偶数の場合は、$m^{m-1}$ が $8$ の倍数になるかどうかを見ればよい。ただし、$m=2$ のときは指数が $1$ であり、$2^1$ は $8$ の倍数ではない。そのため、$m=2$ を例外として分ける必要がある。

奇数の場合は、奇数の平方が常に $8$ で割って $1$ 余ることが核心である。指数 $m-1$ が偶数になるため、$m^{m-1}$ を平方の累乗として扱える。

答え

**(1)**

$m$ が偶数のとき、

$$ \begin{cases} 3 & (m=2),\\ 1 & (m\geqq 4) \end{cases}

$$

**(2)**

$m$ が奇数のとき、

$$ 2

$$