解説

方針・初手

（1） は、分数の関係式を整数の等式に直して、共通の約数が何を割り切るかを見る。

（2） は、（1） を使える形に変形する。特に $28n+5$ と $21n+4$ の差に注目する。

解法1

**(1)**

条件

$$ \frac{b}{a}=\frac{c}{a}+d

$$

の両辺に $a$ をかけると、

$$ b=c+ad

$$

である。

ここで、$a$ と $b$ の任意の公約数を $m$ とする。つまり、

$$ m \mid a,\qquad m \mid b

$$

である。

このとき $m \mid a$ より $m \mid ad$ であり、また $m \mid b$ であるから、

$$ m \mid b-ad

$$

が成り立つ。ところが $b=c+ad$ なので、

$$ b-ad=c

$$

である。したがって、

$$ m \mid c

$$

も成り立つ。

よって $m$ は $a$ と $c$ の公約数である。ところが、仮定より $a$ と $c$ は互いに素であるから、

$$ m=1

$$

でなければならない。

したがって、$a$ と $b$ の公約数は $1$ のみである。ゆえに、$a$ と $b$ は互いに素である。

**(2)**

任意の自然数 $n$ に対して、

$$ a=21n+4,\qquad b=28n+5,\qquad c=7n+1,\qquad d=1

$$

とおく。

このとき、

$$ b=28n+5=(7n+1)+(21n+4)=c+a

$$

であるから、

$$ \frac{b}{a}=\frac{c}{a}+1

$$

が成り立つ。

あとは $a$ と $c$ が互いに素であることを示せば、（1） より $a$ と $b$ が互いに素であると分かる。

ここで、

$$ a=21n+4=3(7n+1)+1=3c+1

$$

である。

$c$ と $a$ の公約数を $m$ とすると、$m \mid c$ かつ $m \mid a$ である。したがって、

$$ m \mid a-3c

$$

が成り立つ。ところが、

$$ a-3c=1

$$

なので、

$$ m \mid 1

$$

である。よって $m=1$ である。

したがって、$a$ と $c$ は互いに素である。

ゆえに （1） より、$a$ と $b$、すなわち

$$ 21n+4

$$

と

$$ 28n+5

$$

は互いに素である。

したがって、任意の自然数 $n$ に対して、$28n+5$ と $21n+4$ は互いに素である。

解法2

（2） は、ユークリッドの互除法を用いて直接示すこともできる。

$28n+5$ と $21n+4$ の最大公約数を $g$ とする。

$$ g=\gcd(28n+5,21n+4)

$$

とおく。

すると $g$ はこれらの整数係数の差も割り切る。まず、

$$ (28n+5)-(21n+4)=7n+1

$$

より、

$$ g \mid 7n+1

$$

である。

また、

$$ 21n+4=3(7n+1)+1

$$

であるから、$g \mid 21n+4$ かつ $g \mid 7n+1$ より、

$$ g \mid (21n+4)-3(7n+1)

$$

が成り立つ。

右辺は

$$ (21n+4)-3(7n+1)=1

$$

であるから、

$$ g \mid 1

$$

である。よって、

$$ g=1

$$

である。

したがって、

$$ \gcd(28n+5,21n+4)=1

$$

であり、$28n+5$ と $21n+4$ は互いに素である。

解説

（1） は、互いに素であることを示す典型的な方法である。「共通の約数を任意に取り、それが $1$ しかありえないことを示す」という流れを使う。

（2） では、$28n+5$ と $21n+4$ の差が

$$ 7n+1

$$

になることが重要である。さらに、

$$ 21n+4=3(7n+1)+1

$$

となるため、共通の約数は最終的に $1$ を割り切ることになる。

（1） を使う場合は、

$$ 28n+5=(7n+1)+(21n+4)

$$

と見て、$a=21n+4,\ c=7n+1,\ d=1$ と置くのが自然である。

答え

**(1)**

$a$ と $b$ は互いに素である。

**(2)**

任意の自然数 $n$ に対して、$28n+5$ と $21n+4$ は互いに素である。