基礎問題集
数学A 整数問題「不定方程式」の問題1 解説
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解説
方針・初手
一次不定方程式 $7x+3y=11$ の整数解を求める。まず特解を1つ見つけ、その後、$7$ と $3$ が互いに素であることを利用して一般解を表す。
解法1
$7x+3y=11$ の整数解を1つ探すと、
$$ x=2,\quad y=-1
$$
は
$$ 7\cdot 2+3\cdot(-1)=14-3=11
$$
を満たす。よって、$(x,y)=(2,-1)$ は特解である。
一般の整数解 $(x,y)$ と特解 $(2,-1)$ の差を考える。
$$ 7x+3y=11
$$
$$ 7\cdot 2+3\cdot(-1)=11
$$
これらを引くと、
$$ 7(x-2)+3(y+1)=0
$$
となる。したがって、
$$ 7(x-2)=-3(y+1)
$$
である。
ここで $7$ と $3$ は互いに素なので、$x-2$ は $3$ の倍数である。よって、ある整数 $m$ を用いて
$$ x-2=3m
$$
と表せる。
したがって、
$$ x=3m+2
$$
である。これを $7x+3y=11$ に代入すると、
$$ 7(3m+2)+3y=11
$$
$$ 21m+14+3y=11
$$
$$ 3y=-21m-3
$$
$$ y=-7m-1
$$
となる。
よって、整数解は
$$ x=3m+2,\quad y=-7m-1
$$
である。
解説
一次不定方程式では、まず特解を1つ見つけることが重要である。特解が見つかれば、元の方程式との差を取ることで同次方程式に変形でき、係数が互いに素であることから一般解を得られる。
この問題では、指定された形が
$$ x=[ア]m+[イ],\quad y=-[ウ]m-[エ]
$$
なので、
$$ x=3m+2,\quad y=-7m-1
$$
と比較すればよい。
答え
$$ \boxed{[ア]=3,\quad [イ]=2,\quad [ウ]=7,\quad [エ]=1}
$$