基礎問題集
数学A 整数問題「不定方程式」の問題5 解説
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解説
方針・初手
条件 $100 \leqq x+y \leqq 200$ があるので、和 $x+y$ を文字で置くと処理しやすい。$s=x+y$ とおき、$x,y$ が整数になるための $s$ の条件を調べる。
解法1
$s=x+y$ とおく。すると $x=s-y$ であるから、これを $3x+5y=7$ に代入すると、
$$ 3(s-y)+5y=7
$$
より、
$$ 3s+2y=7
$$
したがって、
$$ y=\frac{7-3s}{2}
$$
である。また $x=s-y$ より、
$$ x=s-\frac{7-3s}{2}=\frac{5s-7}{2}
$$
となる。
ここで $x,y$ がともに整数であるためには、$\frac{7-3s}{2}$ が整数であればよい。$7-3s$ が偶数となる条件は、$s$ が奇数であることである。
また、問題の条件より
$$ 100 \leqq s \leqq 200
$$
である。この範囲にある奇数は
$$ 101,103,105,\ldots,199
$$
である。
これは初項 $101$、末項 $199$、公差 $2$ の等差数列なので、その個数は
$$ \frac{199-101}{2}+1=50
$$
である。
よって、条件を満たす整数の組 $(x,y)$ は $50$ 個である。
解法2
まず $3x+5y=7$ の整数解を求める。
一つの解として
$$ x=-1,\quad y=2
$$
がある。実際、
$$ 3(-1)+5\cdot 2=-3+10=7
$$
である。
したがって、整数解全体は整数 $t$ を用いて
$$ x=-1+5t,\quad y=2-3t
$$
と表せる。
このとき、
$$ x+y=(-1+5t)+(2-3t)=1+2t
$$
である。条件 $100 \leqq x+y \leqq 200$ より、
$$ 100 \leqq 1+2t \leqq 200
$$
である。これを整理すると、
$$ 99 \leqq 2t \leqq 199
$$
すなわち
$$ 49.5 \leqq t \leqq 99.5
$$
である。
$t$ は整数なので、
$$ t=50,51,52,\ldots,99
$$
となる。この個数は
$$ 99-50+1=50
$$
である。
よって、条件を満たす整数の組 $(x,y)$ は $50$ 個である。
解説
この問題は、一次不定方程式そのものを解く方法でもよいが、条件が $x+y$ にかかっているため、$s=x+y$ とおく解法が最も短い。
ポイントは、$x,y$ が整数になる条件を $s$ の偶奇に落とし込むことである。$100$ 以上 $200$ 以下の整数のうち、条件を満たすのは奇数だけなので、あとは奇数の個数を数えればよい。
答え
$$ 50
$$
個である。