基礎問題集
数学A 整数問題「不定方程式」の問題6 解説
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解説
方針・初手
(1) は一次不定方程式なので、まずユークリッドの互除法で $97$ と $17$ の最大公約数を $1$ と表す。
(2) は絶対値の中身が整数になる条件を考える。絶対値の中身を別の整数で置けば、(1) の結果をそのまま利用できる。
解法1
まず、ユークリッドの互除法より
$$ \begin{aligned} 97&=17\cdot 5+12,\\ 17&=12\cdot 1+5,\\ 12&=5\cdot 2+2,\\ 5&=2\cdot 2+1 \end{aligned}
$$
である。これを逆にたどると、
$$ \begin{aligned} 1&=5-2\cdot 2\\ &=5-(12-5\cdot 2)\cdot 2\\ &=5\cdot 5-12\cdot 2\\ &=(17-12)\cdot 5-12\cdot 2\\ &=17\cdot 5-12\cdot 7\\ &=17\cdot 5-(97-17\cdot 5)\cdot 7\\ &=17\cdot 40-97\cdot 7 \end{aligned}
$$
したがって
$$ 97(-7)+17(40)=1
$$
であるから、$97x+17y=1$ の1つの整数解は
$$ (x,y)=(-7,40)
$$
である。
よって一般解は
$$ x=-7+17t,\qquad y=40-97t
$$
となる。ただし $t$ は整数である。
次に、
$$ y=\left|-\frac{97}{17}x+\frac{1}{17}\right|
$$
を考える。絶対値の中身を
$$ u=-\frac{97}{17}x+\frac{1}{17}=\frac{1-97x}{17}
$$
とおく。$x,y$ が整数で、右辺が整数値になるには $u$ が整数である必要がある。
このとき
$$ u=\frac{1-97x}{17}
$$
より
$$ 97x+17u=1
$$
である。これは (1) と同じ形の方程式なので、
$$ x=-7+17t,\qquad u=40-97t
$$
と表せる。ただし $t$ は整数である。
したがって、(2) の整数解は
$$ x=-7+17t,\qquad y=|40-97t|
$$
の形になる。
条件 $50\leqq y\leqq 200$ より
$$ 50\leqq |40-97t|\leqq 200
$$
を解けばよい。
**(i)**
$40-97t\geqq 0$ のとき
$$ 50\leqq 40-97t\leqq 200
$$
である。これを解くと
$$ 10\leqq -97t\leqq 160
$$
より
$$ -\frac{160}{97}\leqq t\leqq -\frac{10}{97}
$$
である。したがって整数 $t$ は
$$ t=-1
$$
のみである。このとき
$$ x=-7+17(-1)=-24,\qquad y=|40-97(-1)|=137
$$
となる。
**(ii)**
$40-97t<0$ のとき
$$ 50\leqq -(40-97t)\leqq 200
$$
である。すなわち
$$ 50\leqq 97t-40\leqq 200
$$
であり、
$$ 90\leqq 97t\leqq 240
$$
より
$$ \frac{90}{97}\leqq t\leqq \frac{240}{97}
$$
である。したがって整数 $t$ は
$$ t=1,\ 2
$$
である。
$t=1$ のとき
$$ x=-7+17=10,\qquad y=|40-97|=57
$$
である。
$t=2$ のとき
$$ x=-7+34=27,\qquad y=|40-194|=154
$$
である。
以上より、条件を満たす整数の組は
$$ (-24,137),\ (10,57),\ (27,154)
$$
である。
解説
(1) は $97$ と $17$ が互いに素であることを確認し、ユークリッドの互除法で $1$ を $97$ と $17$ の整数係数の和として表すことが要点である。
(2) は、絶対値の中身が
$$ \frac{1-97x}{17}
$$
であることに注目する。この値を整数 $u$ とおけば、方程式
$$ 97x+17u=1
$$
が現れ、(1) の結果をそのまま使える。あとは $y=|u|$ として範囲条件を満たす $t$ を調べればよい。
答え
**(1)**
$$ (x,y)=(-7+17t,\ 40-97t)\qquad (t\in\mathbb{Z})
$$
**(2)**
$$ (x,y)=(-24,137),\ (10,57),\ (27,154)
$$