基礎問題集
数学A 整数問題「不定方程式」の問題9 解説
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解説
方針・初手
分母が $13,31$ で互いに素なので、まず通分して
$$ \frac{x}{13}+\frac{y}{31}=\frac{31x+13y}{403}
$$
とする。したがって、この値を正で最小にするには、整数 $31x+13y$ を正で最小にすればよい。
解法1
$x,y$ は整数であるから、$31x+13y$ も整数である。
また、$13$ と $31$ は互いに素なので、$31x+13y$ は整数全体を動く。よって
$$ \frac{31x+13y}{403}
$$
が正で最小となるのは
$$ 31x+13y=1
$$
のときである。
この方程式を満たす整数解のうち、さらに $x$ が正で最小となるものを求める。
$$ 31x+13y=1
$$
を $13$ で割った余りで考えると、
$$ 31x \equiv 1 \pmod{13}
$$
である。ここで $31\equiv 5\pmod{13}$ より、
$$ 5x \equiv 1 \pmod{13}
$$
となる。$5\cdot 8=40\equiv 1\pmod{13}$ だから、
$$ x\equiv 8 \pmod{13}
$$
である。
したがって、整数解における $x$ は
$$ x=8+13k \quad (k\in\mathbb{Z})
$$
と表される。このうち正で最小のものは
$$ x=8
$$
である。
これを $31x+13y=1$ に代入すると、
$$ 31\cdot 8+13y=1
$$
より、
$$ 248+13y=1
$$
したがって、
$$ 13y=-247
$$
であるから、
$$ y=-19
$$
となる。
よって求める整数の組は
$$ (x,y)=(8,-19)
$$
である。
解説
この問題では、分数の和そのものを見るよりも、通分して分子 $31x+13y$ に注目するのが重要である。
$13$ と $31$ が互いに素であるため、$31x+13y$ は整数として $1$ を作ることができる。したがって、正の最小値は分子が $1$ のときであり、その後に $x$ が正で最小となる解を合同式で選べばよい。
答え
$$ (x,y)=(8,-19)
$$