基礎問題集
数学A 整数問題「不定方程式」の問題11 解説
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解説
方針・初手
整数係数の不定方程式 $ax+by=c$ が整数解をもつためには、$\gcd(a,b)$ が $c$ を割り切ることが必要である。
まず $756$ と $232$ の最大公約数をユークリッドの互除法で求め、その最大公約数が右辺 $1$ を割り切るかを調べる。
解法1
ユークリッドの互除法により、$756$ と $232$ の最大公約数を求める。
$$ 756=232\cdot 3+60
$$
$$ 232=60\cdot 3+52
$$
$$ 60=52\cdot 1+8
$$
$$ 52=8\cdot 6+4
$$
$$ 8=4\cdot 2+0
$$
したがって、
$$ \gcd(756,232)=4
$$
である。
次に、不定方程式
$$ 756x+232y=1
$$
について考える。
左辺の $756x$ と $232y$ は、$756$ も $232$ も $4$ の倍数であるから、任意の整数 $x,y$ に対してどちらも $4$ の倍数である。
したがって、左辺 $756x+232y$ も必ず $4$ の倍数である。
しかし右辺は $1$ であり、$1$ は $4$ の倍数ではない。
よって、整数 $x,y$ に対して
$$ 756x+232y=1
$$
が成り立つことはない。
したがって、この不定方程式は整数解をもたない。
解説
この問題の核心は、不定方程式 $ax+by=c$ の整数解の存在条件である。
$ax+by$ の形で表される整数は、必ず $\gcd(a,b)$ の倍数になる。したがって、右辺 $c$ が $\gcd(a,b)$ の倍数でなければ、整数解は存在しない。
本問では $\gcd(756,232)=4$ であり、右辺 $1$ は $4$ で割り切れない。そのため、実際に $x,y$ を探す必要はなく、最大公約数だけで整数解が存在しないことを示せる。
答え
**(1)**
$$ \gcd(756,232)=4
$$
**(2)**
$756x+232y$ は任意の整数 $x,y$ に対して $4$ の倍数であるが、右辺 $1$ は $4$ の倍数ではない。よって、
$$ 756x+232y=1
$$
は整数解をもたない。