基礎問題集
数学A 整数問題「無限降下法」の問題2 解説
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解説
方針・初手
合同式を用いて平方数を $3$ で割った余りを調べる。まず平方数の余りが $0,1$ に限られることを示し、それを $a^2+b^2=3c^2$ に適用する。
最後は、解が存在すると仮定すると $a,b,c$ がすべて $3$ で割り切れ、同じ形のより小さい自然数解が得られることを用いる。これは無限降下法である。
解法1
まず （1） を示す。
任意の自然数 $a$ を $3$ で割った余りは $0,1,2$ のいずれかである。したがって、次の $3$ 通りに分けられる。
**(i)**
$a\equiv 0\pmod 3$ のとき、
$$ a^2\equiv 0^2\equiv 0\pmod 3
$$
である。
**(ii)**
$a\equiv 1\pmod 3$ のとき、
$$ a^2\equiv 1^2\equiv 1\pmod 3
$$
である。
**(iii)**
$a\equiv 2\pmod 3$ のとき、
$$ a^2\equiv 2^2=4\equiv 1\pmod 3
$$
である。
よって、任意の自然数 $a$ に対して、$a^2$ を $3$ で割った余りは $0$ または $1$ である。
次に （2） を示す。
自然数 $a,b,c$ が
$$ a^2+b^2=3c^2
$$
を満たすと仮定する。右辺 $3c^2$ は $3$ の倍数であるから、
$$ a^2+b^2\equiv 0\pmod 3
$$
である。
ここで （1） より、$a^2,b^2$ を $3$ で割った余りはそれぞれ $0$ または $1$ である。したがって、$a^2+b^2$ を $3$ で割った余りは、可能性として
$$ 0+0,\quad 0+1,\quad 1+0,\quad 1+1
$$
のいずれかである。
これらを $3$ で割った余りとして見ると、
$$ 0,\quad 1,\quad 1,\quad 2
$$
である。$a^2+b^2\equiv 0\pmod 3$ でなければならないので、可能なのは
$$ a^2\equiv 0\pmod 3,\qquad b^2\equiv 0\pmod 3
$$
の場合だけである。
（1） の結果から、平方数が $3$ で割り切れるのは、もとの数が $3$ で割り切れるときに限る。よって、
$$ 3\mid a,\qquad 3\mid b
$$
である。
したがって、ある自然数 $a_1,b_1$ を用いて
$$ a=3a_1,\qquad b=3b_1
$$
と書ける。これを $a^2+b^2=3c^2$ に代入すると、
$$ (3a_1)^2+(3b_1)^2=3c^2
$$
すなわち
$$ 9a_1^2+9b_1^2=3c^2
$$
である。両辺を $3$ で割ると、
$$ 3a_1^2+3b_1^2=c^2
$$
となる。よって、
$$ c^2=3(a_1^2+b_1^2)
$$
であるから、$c^2$ は $3$ で割り切れる。したがって再び （1） より、
$$ 3\mid c
$$
である。
以上より、$a,b,c$ はすべて $3$ で割り切れる。
最後に （3） を示す。
自然数 $a,b,c$ が
$$ a^2+b^2=3c^2
$$
を満たすと仮定する。
（2） より、$a,b,c$ はすべて $3$ で割り切れる。したがって、ある自然数 $a_1,b_1,c_1$ を用いて
$$ a=3a_1,\qquad b=3b_1,\qquad c=3c_1
$$
と書ける。
これをもとの式に代入すると、
$$ (3a_1)^2+(3b_1)^2=3(3c_1)^2
$$
である。整理すると、
$$ 9a_1^2+9b_1^2=27c_1^2
$$
であり、両辺を $9$ で割って
$$ a_1^2+b_1^2=3c_1^2
$$
を得る。
つまり、$(a,b,c)$ が自然数解ならば、$(a_1,b_1,c_1)$ も同じ方程式の自然数解である。しかも
$$ c_1=\frac{c}{3}<c
$$
である。
同じ議論を繰り返すと、さらに小さい自然数解
$$ (a_2,b_2,c_2),\quad (a_3,b_3,c_3),\quad \cdots
$$
が得られ、
$$ c>c_1>c_2>c_3>\cdots
$$
という自然数の無限に続く狭義減少列ができる。
しかし、自然数にこのような無限に続く狭義減少列は存在しない。これは矛盾である。
したがって、
$$ a^2+b^2=3c^2
$$
を満たす自然数 $a,b,c$ は存在しない。
解説
この問題の中心は、平方数の $3$ による余りが $0,1$ に限られるという事実である。
特に （2） では、$a^2+b^2$ が $3$ の倍数になるためには、$a^2$ と $b^2$ がともに $3$ の倍数でなければならない点が重要である。$1+2\equiv 0\pmod 3$ のような可能性は、平方数の余りには $2$ が現れないため起こらない。
（3） は無限降下法の典型である。解があると仮定すると、すべての文字が $3$ で割り切れ、割った後も同じ形の方程式を満たす。これにより、より小さい自然数解が無限に作れてしまうため、自然数の性質に反する。
答え
**(1)**
任意の自然数 $a$ について、$a^2$ を $3$ で割った余りは $0$ または $1$ である。
**(2)**
$a^2+b^2=3c^2$ を満たす自然数 $a,b,c$ が存在すると仮定すると、$a,b,c$ はすべて $3$ で割り切れる。
**(3)**
$a^2+b^2=3c^2$ を満たす自然数 $a,b,c$ は存在しない。