解説

方針・初手

数列 $a_{n+1}=a_n(a_n+1)$ から、隣り合う項の間に

$$ (2a_{k+1}+1)^2-(2a_k+1)^2=(2a_{k+1})^2

$$

という関係が成り立つことに注目する。

(1) はこの関係を足し合わせることで示す。(2) は $2a_n+1$ と $a_n,\ a_n+1$ の互いに素性を見る。(3) は (1), (2) を利用して

$$ (x,y,z,w)=(2a_n+1,\ 2a_{n+1},\ 2a_{n+2},\ 2a_{n+2}+1)

$$

とおく。

解法1

まず、$k\geqq 1$ に対して

$$ a_{k+1}=a_k(a_k+1)

$$

であるから、

$$ \begin{aligned} (2a_{k+1}+1)^2-(2a_k+1)^2 &={(2a_{k+1}+1)-(2a_k+1)}{(2a_{k+1}+1)+(2a_k+1)} \\ &=2(a_{k+1}-a_k)\cdot 2(a_{k+1}+a_k+1) \\ &=4(a_{k+1}-a_k)(a_{k+1}+a_k+1) \end{aligned}

$$

となる。

ここで

$$ a_{k+1}-a_k=a_k(a_k+1)-a_k=a_k^2

$$

また、

$$ a_{k+1}+a_k+1=a_k(a_k+1)+a_k+1=(a_k+1)^2

$$

である。したがって

$$ (2a_{k+1}+1)^2-(2a_k+1)^2 =4a_k^2(a_k+1)^2 =(2a_{k+1})^2

$$

が成り立つ。

(1)

上で得た式を $k=1,2,\dots,n-1$ について足し合わせると、

$$ \begin{aligned} \sum_{k=1}^{n-1}{(2a_{k+1}+1)^2-(2a_k+1)^2} &= \sum_{k=1}^{n-1}(2a_{k+1})^2 \end{aligned} $$

である。左辺は望ましく消去されて、

$$ \begin{aligned} (2a_n+1)^2-(2a_1+1)^2 &= \sum_{k=2}^{n}(2a_k)^2 \end{aligned} $$

となる。

$a_1=1$ より $2a_1+1=3$ であるから、

$$ (2a_1+1)^2+\sum_{k=2}^{n}(2a_k)^2=(2a_n+1)^2

$$

が成り立つ。

よって、$n\geqq 2$ のとき、

$$ (2a_1+1)^2+\sum_{k=2}^{n}(2a_k)^2=(2a_n+1)^2

$$

である。

(2)

$2a_{n+1}=2a_n(a_n+1)$ である。

いま、$d$ を $2a_n+1$ と $2a_{n+1}$ の公約数とする。$2a_n+1$ は奇数なので、$d$ は $2$ と互いに素である。

また、

$$ 2a_n+1\equiv 1 \pmod {a_n}

$$

であるから、$2a_n+1$ と $a_n$ の最大公約数は $1$ である。

さらに、

$$ 2a_n+1=2(a_n+1)-1

$$

より、

$$ 2a_n+1\equiv -1 \pmod {a_n+1}

$$

であるから、$2a_n+1$ と $a_n+1$ の最大公約数も $1$ である。

したがって、$2a_n+1$ は $2,\ a_n,\ a_n+1$ のいずれとも共通の素因数をもたない。よって

$$ \gcd(2a_n+1,\ 2a_{n+1})=\gcd(2a_n+1,\ 2a_n(a_n+1))=1

$$

である。

(3)

$n=1,2,3,\dots$ に対して、

$$ (x,y,z,w)=(2a_n+1,\ 2a_{n+1},\ 2a_{n+2},\ 2a_{n+2}+1)

$$

と定める。

まず、(1) の証明中で得た関係より、

$$ (2a_n+1)^2+(2a_{n+1})^2=(2a_{n+1}+1)^2

$$

である。また同じ関係をもう一度用いると、

$$ (2a_{n+1}+1)^2+(2a_{n+2})^2=(2a_{n+2}+1)^2

$$

である。

したがって、

$$ (2a_n+1)^2+(2a_{n+1})^2+(2a_{n+2})^2=(2a_{n+2}+1)^2

$$

が成り立つ。すなわち、

$$ x^2+y^2+z^2=w^2

$$

である。

次に、(2) より

$$ \gcd(2a_n+1,\ 2a_{n+1})=1

$$

であるから、

$$ \gcd(x,y)=1

$$

である。

さらに、

$$ z=2a_{n+2}=2a_{n+1}(a_{n+1}+1)=(2a_{n+1})(a_{n+1}+1)

$$

であるから、

$$ z=y(a_{n+1}+1)

$$

となる。よって $z$ は $y$ の倍数である。

以上より、各 $n=1,2,3,\dots$ に対して条件 （i）, （ii）, （iii） を満たす自然数の組が得られる。

最後に、数列 ${a_n}$ は

$$ a_{n+1}=a_n(a_n+1)>a_n

$$

を満たすので単調に増加する。したがって、$n$ を変えると $x=2a_n+1$ も異なる。

よって、条件を満たす $4$ つの自然数の組 $(x,y,z,w)$ は無数に存在する。

解説

この問題の中心は、漸化式から

$$ (2a_{k+1}+1)^2-(2a_k+1)^2=(2a_{k+1})^2

$$

を取り出すことである。

この式は、隣り合う項から直角三角形型の関係

$$ (2a_k+1)^2+(2a_{k+1})^2=(2a_{k+1}+1)^2

$$

を作る。さらにこれを連続して使うことで、

$$ (2a_n+1)^2+(2a_{n+1})^2+(2a_{n+2})^2=(2a_{n+2}+1)^2

$$

という $3$ つの平方和の形が得られる。

(2) は、(3) で $\gcd(x,y)=1$ を保証するための準備である。$2a_{n+1}=2a_n(a_n+1)$ と分解し、$2a_n+1$ が $2,\ a_n,\ a_n+1$ のどれとも共通因数をもたないことを示すのが要点である。

答え

**(1)**

$$ (2a_1+1)^2+\sum_{k=2}^{n}(2a_k)^2=(2a_n+1)^2

$$

が成り立つ。

**(2)**

$$ \gcd(2a_n+1,\ 2a_{n+1})=1

$$

である。

**(3)**

$n=1,2,3,\dots$ に対して

$$ (x,y,z,w)=(2a_n+1,\ 2a_{n+1},\ 2a_{n+2},\ 2a_{n+2}+1)

$$

とおけば、条件

$$ x^2+y^2+z^2=w^2,\qquad \gcd(x,y)=1,\qquad z\text{ は }y\text{ の倍数}

$$

をすべて満たす。さらに $n$ によって異なる組が得られるので、そのような自然数の組は無数に存在する。