解説

方針・初手

$a_1,a_2$ を具体的に計算し、公約数 $m$ が満たす合同式を調べる。特に、$m$ が $q$ と互いに素であることを使うと、$m$ の候補が強く制限される。

解法1

まず

$$ a_1=p-4(-q)=p+4q

$$

であり、

$$ a_2=p^2-4(-q)^2=p^2-4q^2

$$

である。

**(1)**

$m>1$ が $a_1,a_2$ の公約数であるとする。このとき

$$ p+4q \equiv 0 \pmod m

$$

より

$$ p \equiv -4q \pmod m

$$

である。これを $a_2=p^2-4q^2$ に代入すると、

$$ 0 \equiv p^2-4q^2 \equiv (-4q)^2-4q^2=12q^2 \pmod m

$$

となる。したがって

$$ m \mid 12q^2

$$

である。

ここで、$m$ と $q$ は互いに素である。実際、もし $q\mid m$ ならば、$m\mid a_1$ より $q\mid a_1$ であるから、

$$ q\mid p+4q

$$

となり、$q\mid p$ が従う。ところが $p,q$ は素数であり、$p>2q$ だから $p\ne q$ である。これは矛盾である。

よって $\gcd(m,q)=1$ であるから、$m\mid 12$ が従う。

また、$p>2q$ より $p>2$ なので $p$ は奇素数である。したがって $p$ は奇数であり、$4q$ は偶数であるから、

$$ a_1=p+4q

$$

は奇数である。よって、その約数である $m$ も奇数である。

$m\mid 12$ かつ $m$ は奇数で、さらに $m>1$ だから、

$$ m=3

$$

である。

（2） すべての $n$ について $a_n$ が $3$ の倍数である条件を考える。$4\equiv 1\pmod 3$ だから、

$$ a_n=p^n-4(-q)^n \equiv p^n-(-q)^n \pmod 3

$$

である。

したがって、すべての $n$ について $a_n\equiv 0\pmod 3$ となるためには、特に $n=1$ のとき

$$ a_1=p+4q\equiv p+q\equiv 0\pmod 3

$$

でなければならない。

逆に、$p+q\equiv 0\pmod 3$、すなわち

$$ p\equiv -q\pmod 3

$$

が成り立つならば、すべての $n$ について

$$ p^n\equiv (-q)^n\pmod 3

$$

となるので、

$$ a_n\equiv p^n-(-q)^n\equiv 0\pmod 3

$$

である。

よって、求める条件は

$$ p+q\equiv 0\pmod 3

$$

である。

積 $pq$ を最小にするには、小さい素数 $q$ から調べればよい。

$q=2$ とすると、$p>2q=4$ であり、さらに

$$ p+2\equiv 0\pmod 3

$$

だから

$$ p\equiv 1\pmod 3

$$

である。$4$ より大きい素数で $3$ で割って $1$ 余る最小のものは

$$ p=7

$$

である。

このとき

$$ p=7,\quad q=2

$$

であり、確かに $7>2\cdot 2$、かつ $7+2=9$ は $3$ の倍数である。したがって、すべての $a_n$ は $3$ の倍数である。

また、$q$ は素数なので $q\ge 2$ である。$q=2$ の場合に最小の $p$ が $7$ である以上、これより小さい積 $pq$ は存在しない。

したがって、積 $pq$ が最小となるのは

$$ p=7,\quad q=2

$$

である。

解説

(1) では、公約数 $m$ に関して $p\equiv -4q\pmod m$ と置き換えるのが核心である。これにより $a_2$ から $m\mid 12q^2$ が出る。さらに $m$ と $q$ が互いに素であること、$a_1$ が奇数であることを使うと、候補は $3$ だけに絞られる。

(2) では、$4\equiv 1\pmod 3$ を使って

$$ a_n\equiv p^n-(-q)^n\pmod 3

$$

と見る。すべての $n$ で $3$ の倍数になる条件は、結局 $n=1$ の条件 $p+q\equiv 0\pmod 3$ と同値である。

答え

**(1)**

$a_1$ と $a_2$ が $1$ より大きい公約数 $m$ をもつならば、

$$ m=3

$$

である。

**(2)**

積 $pq$ が最小となるのは

$$ p=7,\quad q=2

$$

であり、そのとき

$$ pq=14

$$

である。