解説

方針・初手

平方数の $4$ で割った余りは $0$ または $1$ だけである。したがって、$n \geqq 2$ のとき右辺 $2^n$ が $4$ の倍数であることを利用して、まず $a,b$ の偶奇を調べる。

その後、$a,b$ がともに偶数であることから、$a=2a_1,\ b=2b_1$ とおいて指数を $2$ だけ下げる。この操作を繰り返して、最後に $n=0$ または $n=1$ の場合へ帰着させる。

解法1

平方数を $4$ で割った余りは、整数 $x$ について

$$ x^2 \equiv 0,\ 1 \pmod{4}

$$

のいずれかである。

(1) の証明

$n \geqq 2$ であるから、$2^n$ は $4$ の倍数である。したがって

$$ a^2+b^2=2^n

$$

より

$$ a^2+b^2 \equiv 0 \pmod{4}

$$

である。

一方、$a^2,b^2$ はそれぞれ $0$ または $1$ に合同であるから、$a^2+b^2$ の $4$ で割った余りは

$$ 0,\ 1,\ 2

$$

のいずれかである。このうち $0$ になるのは

$$ a^2 \equiv 0 \pmod{4},\quad b^2 \equiv 0 \pmod{4}

$$

の場合だけである。

よって $a,b$ はともに偶数である。ただし、$0$ も偶数に含める。

(2) の解

まず、小さい $n$ の場合を確認する。

$n=0$ のとき、

$$ a^2+b^2=1

$$

であるから、非負整数解は

$$ (a,b)=(1,0),(0,1)

$$

である。

$n=1$ のとき、

$$ a^2+b^2=2

$$

であるから、非負整数解は

$$ (a,b)=(1,1)

$$

である。

次に $n \geqq 2$ とする。(1) より、解 $(a,b)$ は必ず

$$ a=2a_1,\quad b=2b_1

$$

と表せる。これを代入すると

$$ (2a_1)^2+(2b_1)^2=2^n

$$

より

$$ 4(a_1^2+b_1^2)=2^n

$$

である。したがって

$$ a_1^2+b_1^2=2^{n-2}

$$

を得る。

つまり、$n \geqq 2$ の解は、指数を $2$ 下げた方程式の解を $2$ 倍したものに一致する。この操作を繰り返せば、$n$ の偶奇によって $n=0$ または $n=1$ の場合に帰着する。

**(i)**

$n$ が偶数のとき

$n=2m\ (m \geqq 0)$ とおく。上の操作を $m$ 回繰り返すと、

$$ \left(\frac{a}{2^m}\right)^2+\left(\frac{b}{2^m}\right)^2=1

$$

となる。非負整数解は

$$ \left(\frac{a}{2^m},\frac{b}{2^m}\right)=(1,0),(0,1)

$$

であるから、

$$ (a,b)=(2^m,0),(0,2^m)

$$

である。

**(ii)**

$n$ が奇数のとき

$n=2m+1\ (m \geqq 0)$ とおく。上の操作を $m$ 回繰り返すと、

$$ \left(\frac{a}{2^m}\right)^2+\left(\frac{b}{2^m}\right)^2=2

$$

となる。非負整数解は

$$ \left(\frac{a}{2^m},\frac{b}{2^m}\right)=(1,1)

$$

であるから、

$$ (a,b)=(2^m,2^m)

$$

である。

以上で、すべての $n \geqq 0$ に対する解が求まった。

解説

この問題の核心は、平方数の $4$ で割った余りに注目することである。$n \geqq 2$ では右辺が $4$ の倍数になるため、$a^2+b^2$ も $4$ の倍数でなければならない。平方数の余りが $0$ または $1$ に限られることから、両方とも偶数であることが従う。

そこから先は、$a,b$ をともに $2$ で割ることで、方程式

$$ a^2+b^2=2^n

$$

の指数 $n$ を $2$ ずつ下げる処理である。最終的に $n=0$ または $n=1$ まで下がるので、偶数指数と奇数指数で答えが分かれる。

答え

**(1)**

$n \geqq 2$ のとき、$a,b$ はともに偶数である。

**(2)**

$n \geqq 0$ に対するすべての非負整数解は、次の通りである。

**(i)**

$n=2m\ (m \geqq 0)$ のとき

$$ (a,b)=(2^m,0),(0,2^m)

$$

**(ii)**

$n=2m+1\ (m \geqq 0)$ のとき

$$ (a,b)=(2^m,2^m)

$$