解説

方針・初手

条件 $\ell \leqq m \leqq n$ より、逆数は

$$ \frac{1}{\ell} \geqq \frac{1}{m} \geqq \frac{1}{n}

$$

となる。まず $\ell$ の範囲を不等式で絞り、その後 $\ell=1,2$ の場合に分けて解く。

解法1

$\ell \leqq m \leqq n$ より、$m,n \geqq \ell$ であるから、

$$ \begin{aligned} \frac{1}{\ell}+\frac{1}{m}+\frac{1}{n} \leqq \frac{1}{\ell}+\frac{1}{\ell}+\frac{1}{\ell} &= \frac{3}{\ell} \end{aligned} $$

である。したがって

$$ \frac{3}{2} \leqq \frac{3}{\ell}

$$

より、

$$ \ell \leqq 2

$$

となる。よって $\ell$ は自然数なので、$\ell=1,2$ のみを調べればよい。

**(i) $\ell=1$ のとき**

条件式は

$$ 1+\frac{1}{m}+\frac{1}{n}=\frac{3}{2}

$$

すなわち

$$ \frac{1}{m}+\frac{1}{n}=\frac{1}{2}

$$

である。両辺に $2mn$ をかけると、

$$ 2n+2m=mn

$$

となる。これを変形して、

$$ mn-2m-2n=0

$$

であるから、両辺に $4$ を加えると、

$$ (m-2)(n-2)=4

$$

となる。

また、$m \leqq n$ なので $m-2 \leqq n-2$ である。$m,n$ は自然数であり、上式から $m-2,n-2$ は正の約数である。

したがって、

$$ (m-2,n-2)=(1,4),(2,2)

$$

である。よって

$$ (m,n)=(3,6),(4,4)

$$

を得る。

したがって、この場合の組は

$$ (\ell,m,n)=(1,3,6),(1,4,4)

$$

である。

**(ii) $\ell=2$ のとき**

条件式は

$$ \frac{1}{2}+\frac{1}{m}+\frac{1}{n}=\frac{3}{2}

$$

すなわち

$$ \frac{1}{m}+\frac{1}{n}=1

$$

である。

ここで $2 \leqq m \leqq n$ より、

$$ \frac{1}{m} \leqq \frac{1}{2},\qquad \frac{1}{n}\leqq \frac{1}{2}

$$

である。したがって

$$ \frac{1}{m}+\frac{1}{n}\leqq 1

$$

であり、これが $1$ に等しくなるには

$$ \frac{1}{m}=\frac{1}{2},\qquad \frac{1}{n}=\frac{1}{2}

$$

でなければならない。

よって

$$ m=n=2

$$

である。したがって、この場合の組は

$$ (\ell,m,n)=(2,2,2)

$$

である。

以上より、求める自然数の組は

$$ (\ell,m,n)=(1,3,6),(1,4,4),(2,2,2)

$$

である。

解説

この問題では、$\ell \leqq m \leqq n$ という順序条件を使って、最初に $\ell$ の範囲を絞ることが重要である。逆数の大小は元の数の大小と逆になるため、最大の逆数は $\frac{1}{\ell}$ である。

$\ell$ を $1,2$ に絞った後は、$\ell=1$ の場合に

$$ \frac{1}{m}+\frac{1}{n}=\frac{1}{2}

$$

を因数分解型

$$ (m-2)(n-2)=4

$$

へ変形するのが典型的な処理である。約数の組を調べるだけで済むため、漏れなく解を求められる。

答え

$$ (\ell,m,n)=(1,3,6),(1,4,4),(2,2,2)

$$