基礎問題集
数学A 整数問題「整数問題」の問題18 解説
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解説
方針・初手
整数解を求める問題なので、式を因数分解できる形に変形する。 $xy$、$x$、$y$ の項があるので、積の形を作るために両辺を調整する。
解法1
与えられた方程式は
$$ 2xy-2x-5y=0
$$
である。$x$ についてまとめると
$$ 2x(y-1)=5y
$$
となるが、このままでは整数条件を扱いにくい。そこで因数分解の形を作る。
両辺を $2$ 倍すると
$$ 4xy-4x-10y=0
$$
である。ここに $10$ を加えると
$$ 4xy-4x-10y+10=10
$$
となる。左辺は
$$ (2x-5)(2y-2)
$$
と因数分解できるので、
$$ (2x-5)(2y-2)=10
$$
を得る。
ここで $x,y$ は整数であるから、$2x-5$ と $2y-2$ は整数であり、その積が $10$ である。
さらに、$2x-5$ は奇数である。したがって、$2x-5$ に入る可能性がある $10$ の約数は
$$ \pm 1,\ \pm 5
$$
である。
それぞれ調べる。
**(i)**
$2x-5=1$ のとき
$$ 2y-2=10
$$
より
$$ y=6
$$
である。
**(ii)**
$2x-5=5$ のとき
$$ 2y-2=2
$$
より
$$ y=2
$$
である。
**(iii)**
$2x-5=-1$ のとき
$$ 2y-2=-10
$$
より
$$ y=-4
$$
である。
**(iv)**
$2x-5=-5$ のとき
$$ 2y-2=-2
$$
より
$$ y=0
$$
である。
よって、条件を満たす整数の組は確かに $4$ 組あり、そのときの $y$ の値は
$$ -4,\ 0,\ 2,\ 6
$$
である。
解説
この問題では、$x$ について解くよりも、整数条件を使いやすい積の形に変形するのが重要である。
$$ 2xy-2x-5y=0
$$
から直接因数分解することはできないが、両辺を $2$ 倍して定数項 $10$ を補うと
$$ (2x-5)(2y-2)=10
$$
となる。あとは $10$ の約数の組を調べればよい。
注意点は、$2x-5$ が奇数であることである。そのため、$2x-5$ は $\pm 2,\pm 10$ にはならず、候補は $\pm 1,\pm 5$ に限られる。
答え
$$ y=-4,\ 0,\ 2,\ 6
$$