解説

方針・初手

2つの整数解を $\alpha,\beta$ とおく。解と係数の関係により、$\alpha+\beta$ と $\alpha\beta$ を $a$ で表せるので、そこから $a$ を消去して整数 $\alpha,\beta$ の条件に直す。

解法1

2つの整数解を $\alpha,\beta$ とする。二次方程式

$$ x^2-3ax+2a-3=0

$$

について、解と係数の関係より

$$ \alpha+\beta=3a,\qquad \alpha\beta=2a-3

$$

である。

ここから $a$ をそれぞれ表すと

$$ a=\frac{\alpha+\beta}{3},\qquad a=\frac{\alpha\beta+3}{2}

$$

となる。したがって

$$ \frac{\alpha+\beta}{3}=\frac{\alpha\beta+3}{2}

$$

であるから、

$$ 2\alpha+2\beta=3\alpha\beta+9

$$

すなわち

$$ 3\alpha\beta-2\alpha-2\beta+9=0

$$

を得る。

両辺を $3$ 倍して整理すると、

$$ 9\alpha\beta-6\alpha-6\beta+27=0

$$

である。ここで

$$ (3\alpha-2)(3\beta-2) =9\alpha\beta-6\alpha-6\beta+4

$$

だから、

$$ (3\alpha-2)(3\beta-2)=-23

$$

となる。

$\alpha,\beta$ は整数なので、$3\alpha-2,\ 3\beta-2$ も整数である。$-23$ の約数の組を調べる。

**(i)**

$3\alpha-2=1,\ 3\beta-2=-23$ のとき

$$ \alpha=1,\qquad \beta=-7

$$

である。

**(ii)**

$3\alpha-2=-23,\ 3\beta-2=1$ のとき

$$ \alpha=-7,\qquad \beta=1

$$

である。

**(iii)**

$3\alpha-2=-1,\ 3\beta-2=23$ のとき、$\alpha=\frac{1}{3}$ となり整数でない。

**(iv)**

$3\alpha-2=23,\ 3\beta-2=-1$ のとき、$\beta=\frac{1}{3}$ となり整数でない。

よって、2つの整数解は $1,-7$ である。

したがって

$$ \alpha+\beta=1+(-7)=-6

$$

より、

$$ 3a=-6

$$

となる。ゆえに

$$ a=-2

$$

である。

実際に代入すると

$$ x^2+6x-7=0

$$

となり、

$$ (x-1)(x+7)=0

$$

であるから、確かに2つの整数解をもつ。

求める値は

$$ a^2+3=(-2)^2+3=7

$$

である。

解説

この問題では、根を直接求めるよりも、整数解を $\alpha,\beta$ とおいて解と係数の関係を使うのが自然である。

ポイントは、$a$ を消去して

$$ (3\alpha-2)(3\beta-2)=-23

$$

という整数の積の形に変形することである。右辺が素数の符号付きの値なので、約数の場合分けが少なく、整数条件を確実に処理できる。

答え

$$ \boxed{7}

$$