基礎問題集
数学A 整数問題「整数問題」の問題28 解説
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解説
方針・初手
頂点の座標は、二次関数を $s=m+n,\ t=mn$ で整理してから求める。
その後、$a$ と $b$ の整数条件がどちらも $s$ が $3$ の倍数であることに帰着することを示す。
解法1
与えられた二次関数は
$$ y=\frac{1}{2}{x^2+(x-m)^2+(x-n)^2}
$$
である。中身を展開すると、
$$ \begin{aligned} x^2+(x-m)^2+(x-n)^2 &=x^2+(x^2-2mx+m^2)+(x^2-2nx+n^2)\\ &=3x^2-2(m+n)x+m^2+n^2 \end{aligned}
$$
となる。
ここで $s=m+n,\ t=mn$ とおくと、
$$ m^2+n^2=(m+n)^2-2mn=s^2-2t
$$
であるから、
$$ y=\frac{1}{2}{3x^2-2sx+s^2-2t}
$$
すなわち
$$ y=\frac{3}{2}x^2-sx+\frac{s^2-2t}{2}
$$
である。
この二次関数の頂点の $x$ 座標は
$$ a=-\frac{-s}{2\cdot \frac{3}{2}}=\frac{s}{3}
$$
である。
したがって、頂点の $y$ 座標 $b$ は $x=\frac{s}{3}$ を代入して
$$ \begin{aligned} b &=\frac{3}{2}\left(\frac{s}{3}\right)^2-s\cdot \frac{s}{3}+\frac{s^2-2t}{2}\\ &=\frac{s^2}{6}-\frac{s^2}{3}+\frac{s^2-2t}{2}\\ &=\frac{s^2}{3}-t\\ &=\frac{s^2-3t}{3} \end{aligned}
$$
となる。
よって
$$ a=\frac{s}{3},\qquad b=\frac{s^2-3t}{3}
$$
である。
次に、整数 $k$ について、$k^2$ が $3$ の倍数ならば $k$ が $3$ の倍数であることを示す。
整数 $k$ を $3$ で割った余りによって分類すると、
$$ k\equiv 0,\ 1,\ 2 \pmod{3}
$$
のいずれかである。それぞれ二乗すると、
$$ k^2\equiv 0,\ 1,\ 4 \pmod{3}
$$
であり、$4\equiv 1 \pmod{3}$ だから、
$$ k^2\equiv 0 \ \text{または}\ 1 \pmod{3}
$$
である。
したがって、$k^2$ が $3$ の倍数、すなわち $k^2\equiv 0 \pmod{3}$ であるならば、$k\equiv 0 \pmod{3}$ でなければならない。よって $k$ は $3$ の倍数である。
最後に、$a$ が整数であることと $b$ が整数であることが同値であることを示す。
まず
$$ a=\frac{s}{3}
$$
であるから、$a$ が整数であることは
$$ 3\mid s
$$
と同値である。
一方、
$$ b=\frac{s^2-3t}{3}=\frac{s^2}{3}-t
$$
であり、$t$ は整数である。したがって、$b$ が整数であることは
$$ \frac{s^2}{3}
$$
が整数であること、すなわち
$$ 3\mid s^2
$$
と同値である。
ここで、先に示した結果を $k=s$ に適用すると、
$$ 3\mid s^2 \Longrightarrow 3\mid s
$$
である。また、逆に $3\mid s$ ならば当然 $3\mid s^2$ である。
よって
$$ 3\mid s^2 \Longleftrightarrow 3\mid s
$$
が成り立つ。
以上より、
$$ b\in \mathbb{Z} \Longleftrightarrow 3\mid s^2 \Longleftrightarrow 3\mid s \Longleftrightarrow a\in \mathbb{Z}
$$
である。
したがって、$a$ が整数であることと $b$ が整数であることは同値である。
解説
この問題の中心は、頂点座標を $m,n$ のまま扱うのではなく、対称式 $s=m+n,\ t=mn$ で整理する点にある。
特に $b$ の形は
$$ b=\frac{s^2}{3}-t
$$
と見るのが重要である。$t$ は整数なので、$b$ の整数性は $s^2$ が $3$ で割り切れるかどうかだけで決まる。
さらに、平方数が $3$ の倍数なら元の整数も $3$ の倍数であることを使えば、$a$ の整数条件 $3\mid s$ と $b$ の整数条件 $3\mid s^2$ が一致することが分かる。
答え
**(1)**
$$ a=\frac{s}{3},\qquad b=\frac{s^2-3t}{3}
$$
**(2)**
整数 $k$ について、$k^2$ が $3$ の倍数ならば $k$ は $3$ の倍数である。
**(3)**
$$ a\in \mathbb{Z} \Longleftrightarrow b\in \mathbb{Z}
$$
すなわち、$a$ が整数であることと $b$ が整数であることは同値である。