基礎問題集
数学A 整数問題「整数問題」の問題31 解説
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解説
方針・初手
$n+S(n)$ の値が与えられているので、まず $n$ の桁数を絞る。桁数が決まれば、$n$ を各桁の数字で表し、$S(n)$ をその和として方程式に直す。
解法1
**(1)**
$n+S(n)=100$ より、$S(n)\geqq 1$ だから
$$ n\leqq 99
$$
である。したがって、$n$ は高々2桁である。
$n=10a+b$ とおく。ただし $a,b$ は整数で、
$$ 0\leqq a\leqq 9,\qquad 0\leqq b\leqq 9
$$
である。このとき
$$ S(n)=a+b
$$
だから、
$$ n+S(n)=10a+b+a+b=11a+2b
$$
である。よって
$$ 11a+2b=100
$$
を満たす数字 $a,b$ を求めればよい。
この式を $11$ で考えると、
$$ 2b\equiv 100 \pmod{11}
$$
である。$100\equiv 1\pmod{11}$ だから、
$$ 2b\equiv 1\pmod{11}
$$
となる。$0\leqq b\leqq 9$ の範囲でこれを満たすのは
$$ b=6
$$
である。
これを $11a+2b=100$ に代入すると、
$$ 11a+12=100
$$
より、
$$ a=8
$$
である。したがって
$$ n=86
$$
である。
実際、
$$ 86+S(86)=86+(8+6)=100
$$
となるので、条件を満たす。
**(2)**
$n+S(n)=1988$ より、$S(n)\geqq 1$ だから
$$ n\leqq 1987
$$
である。
一方、$n\leqq 999$ ならば $S(n)\leqq 27$ なので、
$$ n+S(n)\leqq 999+27=1026
$$
となり、$1988$ にはならない。したがって、$n$ は4桁の数である。
$n=1000a+100b+10c+d$ とおく。ただし $a,b,c,d$ は数字で、
$$ 1\leqq a\leqq 9,\qquad 0\leqq b,c,d\leqq 9
$$
である。
さらに $n\leqq 1987$ なので、千の位は
$$ a=1
$$
である。よって
$$ n=1000+100b+10c+d
$$
であり、
$$ S(n)=1+b+c+d
$$
である。
したがって
$$ \begin{aligned} n+S(n) &=(1000+100b+10c+d)+(1+b+c+d)\\ &=1001+101b+11c+2d \end{aligned}
$$
である。これが $1988$ に等しいから、
$$ 1001+101b+11c+2d=1988
$$
すなわち
$$ 101b+11c+2d=987
$$
である。
ここで、もし $b\leqq 8$ ならば、
$$ 101b+11c+2d\leqq 101\cdot 8+11\cdot 9+2\cdot 9=925
$$
となり、$987$ に届かない。よって
$$ b=9
$$
である。
これを代入すると、
$$ 101\cdot 9+11c+2d=987
$$
より、
$$ 11c+2d=78
$$
となる。
$d$ は $0\leqq d\leqq 9$ を満たすので、$2d$ は $0$ 以上 $18$ 以下である。したがって
$$ 78-18\leqq 11c\leqq 78
$$
より、
$$ 60\leqq 11c\leqq 78
$$
である。これを満たす数字 $c$ は $c=6,7$ である。
それぞれ調べると、$c=6$ のとき
$$ 2d=78-66=12
$$
より
$$ d=6
$$
である。
$c=7$ のとき
$$ 2d=78-77=1
$$
となり、$d$ は整数にならない。したがって不適である。
よって
$$ a=1,\qquad b=9,\qquad c=6,\qquad d=6
$$
となり、
$$ n=1966
$$
である。
実際、
$$ 1966+S(1966)=1966+(1+9+6+6)=1988
$$
となるので、条件を満たす。
解説
この問題では、$S(n)$ が各桁の和であることから、まず $n$ の桁数を制限するのが重要である。桁数が決まれば、各桁を文字で置くことで、条件は数字 $0$ から $9$ に関する一次方程式になる。
特に （2） では、いきなり全ての4桁の数を調べるのではなく、$n\leqq 1987$ から千の位が $1$ に決まり、さらに式の大きさから百の位が $9$ に絞れる。このように、桁ごとの最大値を使って候補を減らすことが有効である。
答え
**(1)**
$$ n=86
$$
**(2)**
$$ n=1966
$$