解説

方針・初手

まず $S$ を展開して因数分解する。すると $S$ の偶奇は $n$ の偶奇と直接結びつき、さらに $n$ が偶数であることを用いると $36$ の因数が現れる。

解法1

$S$ を展開すると、

$$ \begin{aligned} S &=(n-1)^3+n^3+(n+1)^3 \\ &=(n^3-3n^2+3n-1)+n^3+(n^3+3n^2+3n+1) \\ &=3n^3+6n \\ &=3n(n^2+2) \end{aligned}

$$

である。

まず （1） を示す。

$n$ が奇数であると仮定する。このとき $n^2$ も奇数であり、$n^2+2$ も奇数である。したがって

$$ 3n(n^2+2)

$$

は奇数と奇数と奇数の積なので奇数である。

よって $n$ が奇数なら $S$ は奇数である。これは「$S$ が偶数である」という仮定に反する。

したがって、$S$ が偶数であれば $n$ は偶数である。

次に （2） を示す。

（1） より、$S$ が偶数なら $n$ は偶数である。そこで

$$ n=2m

$$

とおく。ただし $m$ は整数である。

このとき

$$ \begin{aligned} S &=3n(n^2+2) \\ &=3\cdot 2m{(2m)^2+2} \\ &=6m(4m^2+2) \\ &=12m(2m^2+1) \end{aligned}

$$

となる。

あとは $m(2m^2+1)$ が $3$ で割り切れることを示せばよい。整数 $m$ を $3$ で割った余りで分ける。

**(i)**

$m\equiv 0 \pmod{3}$ のとき、$m(2m^2+1)$ は $3$ で割り切れる。

**(ii)**

$m\equiv 1 \pmod{3}$ のとき、

$$ 2m^2+1\equiv 2\cdot 1^2+1=3\equiv 0 \pmod{3}

$$

より、$m(2m^2+1)$ は $3$ で割り切れる。

**(iii)**

$m\equiv 2 \pmod{3}$ のとき、$m^2\equiv 4\equiv 1 \pmod{3}$ であるから、

$$ 2m^2+1\equiv 2\cdot 1+1=3\equiv 0 \pmod{3}

$$

より、$m(2m^2+1)$ は $3$ で割り切れる。

以上より、どの場合でも

$$ m(2m^2+1)\equiv 0 \pmod{3}

$$

である。

したがって、ある整数 $k$ を用いて

$$ m(2m^2+1)=3k

$$

と書ける。これを $S=12m(2m^2+1)$ に代入すると、

$$ S=12\cdot 3k=36k

$$

となる。

よって、$S$ は $36$ で割り切れる。

解説

この問題の核心は、

$$ (n-1)^3+n^3+(n+1)^3=3n(n^2+2)

$$

と整理することである。

（1） では、$n$ が奇数なら $3n(n^2+2)$ が奇数になるため、対偶を用いて $S$ が偶数なら $n$ が偶数であると分かる。

（2） では、（1） の結果を使って $n=2m$ とおく。すると $S=12m(2m^2+1)$ まで因数が出るので、残りの $3$ の倍数性を $m$ の $3$ で割った余りで確認すればよい。

答え

**(1)**

$S$ が偶数であれば、$n$ は偶数である。

**(2)**

$S$ が偶数であれば、$S$ は $36$ で割り切れる。