基礎問題集
数学A 整数問題「整数問題」の問題39 解説
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解説
方針・初手
$1$ から $p^m q^n$ までの整数のうち、$p$ または $q$ の倍数の個数を包除原理で数える。
その個数を $240$ とおくと、$p,q,m,n$ に関する整数方程式が得られる。特に $m \geqq 3$ より $p^2$ が $240$ を割ることに注目する。
解法1
$N=p^m q^n$ とおく。
$1$ から $N$ までの整数のうち、$p$ の倍数の個数は
$$ \frac{p^m q^n}{p}=p^{m-1}q^n
$$
であり、$q$ の倍数の個数は
$$ \frac{p^m q^n}{q}=p^m q^{n-1}
$$
である。
また、$p$ と $q$ は異なる素数であるから、$p$ と $q$ の両方の倍数、すなわち $pq$ の倍数の個数は
$$ \frac{p^m q^n}{pq}=p^{m-1}q^{n-1}
$$
である。
よって、包除原理より
$$ p^{m-1}q^n+p^m q^{n-1}-p^{m-1}q^{n-1}=240
$$
である。左辺を因数分解すると、
$$ p^{m-1}q^{n-1}(q+p-1)=240
$$
となる。
ここで $m\geqq 3$ より $m-1\geqq 2$ であるから、左辺には $p^2$ が因数として含まれる。したがって $p^2$ は $240$ を割る。
$$ 240=2^4\cdot 3\cdot 5
$$
であるから、平方が $240$ を割る素数は $2$ のみである。よって
$$ p=2
$$
である。
このとき $p<q$ より、$q$ は奇素数である。方程式は
$$ 2^{m-1}q^{n-1}(q+1)=240
$$
となる。
$q$ は奇素数なので、$q+1$ は偶数である。したがって左辺の $2$ の指数は
$$ (m-1)+v_2(q+1)
$$
であり、これは $240$ の $2$ の指数である $4$ 以下でなければならない。
また $v_2(q+1)\geqq 1$ であるから、
$$ m-1\leqq 3
$$
である。$m\geqq 3$ より、
$$ m=3,4
$$
に限られる。
**(i)**
$m=3$ のとき
$$ 2^{2}q^{n-1}(q+1)=240
$$
より
$$ q^{n-1}(q+1)=60
$$
である。
$n=1$ のとき、
$$ q+1=60
$$
より
$$ q=59
$$
であり、これは素数である。したがって
$$ (p,q,m,n)=(2,59,3,1)
$$
を得る。
$n\geqq 2$ のとき、$q^{n-1}$ が $60$ を割るので、$q$ は $60$ の素因数である。$q$ は奇素数で $q>2$ だから、
$$ q=3,5
$$
に限られる。
$q=3$ のとき、
$$ 3^{n-1}(3+1)=60
$$
より
$$ 3^{n-1}=15
$$
となり不可能である。
$q=5$ のとき、
$$ 5^{n-1}(5+1)=60
$$
より
$$ 5^{n-1}=10
$$
となり不可能である。
よって $m=3$ では
$$ (p,q,m,n)=(2,59,3,1)
$$
のみである。
**(ii)**
$m=4$ のとき
$$ 2^3q^{n-1}(q+1)=240
$$
より
$$ q^{n-1}(q+1)=30
$$
である。
$n=1$ のとき、
$$ q+1=30
$$
より
$$ q=29
$$
であり、これは素数である。したがって
$$ (p,q,m,n)=(2,29,4,1)
$$
を得る。
$n\geqq 2$ のとき、$q^{n-1}$ が $30$ を割るので、$q$ は $30$ の素因数である。$q$ は奇素数で $q>2$ だから、
$$ q=3,5
$$
に限られる。
$q=3$ のとき、
$$ 3^{n-1}(3+1)=30
$$
より
$$ 3^{n-1}=\frac{15}{2}
$$
となり不可能である。
$q=5$ のとき、
$$ 5^{n-1}(5+1)=30
$$
より
$$ 5^{n-1}=5
$$
であるから、
$$ n-1=1
$$
すなわち
$$ n=2
$$
である。したがって
$$ (p,q,m,n)=(2,5,4,2)
$$
を得る。
以上より、求める組は
$$ (p,q,m,n)=(2,59,3,1),(2,29,4,1),(2,5,4,2)
$$
である。
解説
この問題の中心は、倍数の個数を包除原理で数えて
$$ p^{m-1}q^{n-1}(p+q-1)=240
$$
という形にすることである。
その後は、$m\geqq 3$ から $p^2\mid 240$ が分かるため、$p=2$ に絞れる。ここで大きく候補が減る。
さらに、$q$ が奇素数であるため $q+1$ が偶数であることを使うと、$2$ の指数から $m=3,4$ だけを調べればよい。あとは $n=1$ と $n\geqq 2$ に分け、$q^{n-1}$ が右辺を割る条件から有限個に絞る。
答え
$$ (p,q,m,n)=(2,59,3,1),(2,29,4,1),(2,5,4,2)
$$